場合の数を求める問題

質問

私は頭の体操に数学の問題を解いております。
皆様のお力をおかしいただければ幸いです。

問題
１から５までの番号がついた箱がある。それぞれの箱に、赤、白、青の玉のうちどれか１個を入れるとき、入れ方は全部で何通りあるか。
ただし、どの色の玉も少なくとも１個は入れるものとする。

正解
（赤が入っている箱の個数、白が入っている箱の個数、青が入っている箱の個数）とし
(1,1,3), (1,3,1),(3,1,1),(2,2,1),(2,1,2),(1,2,2)のそれぞれの場合の数を足し上げ
１５０通り

私の誤答
３＾５＝２４３通り

正解は理解できるのですが、私の誤答が何故違うのかが分かりません。
３色から１色選んで詰めていくんだなぁと単純に考えてしまいました。
両者の差である９３は何を表すのでしょうか。

回答No.3

KEIS050162 · ベストアンサー

質問者殿の方法では条件に合わない（一色だけ、二色だけ）も含まれているので、その分が９３となります。

色々な解き方はあると思いますが、差の９３の内訳が分かり易い方法としてご参考に。

(1)１～５　までに赤白青のいずれかが入る組合せ

　３＾５

(2)１～５　まで　赤白青のいずれか一色だけの場合

　３C1

(3)１～５　まで　赤白青のうち二色だけの場合

　３Ｃ２　×　（２＾５　－　２C1）

　※(1)と同様にどちらか一方の色一色だけのケースを引く

(1)　－　（(3)　＋　(3)）　＝　２４３　－　｛３　＋　３×（３２－２）｝
　　　　　　　　　　　　　　＝　２４３　－　９３　＝１５０

お礼

完璧にまとめられていて、素晴らしいです。

本当にありがとうございました。

回答No.4

Quattro99

他の回答者の方とほぼ同じですが。

誤りなのは、
> ただし、どの色の玉も少なくとも１個は入れるものとする。
この条件を考慮していないから。

従って、その差93は、1個も入れていない色がある場合の数です。

1色しか使わない場合：色の選び方が3通りで、そのそれぞれの場合の入れ方は1通りなので、3*1=3通り。
2色しか使わない場合（1色しか使わない場合を除く）：色の選び方が3C2=3通りで、そのそれぞれの場合の入れ方は2^5-2=30通り（1色しか使わない場合の除いている）なので、3*30=90通り。
合わせて93通りが、1個も入れていない色がある場合の数となります。

お礼

完璧にまとめられていて、素晴らしいです。

本当にありがとうございました。

回答No.2

yyssaa

1色しか使わない入れ方は3通り。
2色しか使わない入れ方は、2色の選び方が3通りで
(1,4)(4,1)が5通りずつの10通り、(3,2)(2,3)が10通りずつの20通りだから
3*(10+20)=90通り。
合計3+90=93通りでしょう。

お礼

本当に、本当にありがとうございました。

ぱっと値を求められてすごいなぁと正直思います。

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

例えばあなたの答えには、全部の箱に白が含まれています。
これは全ての色を使うという条件に反します。

お礼

この条件に全く気が付きませんでした。

これで差である９３通りを求められます。

ありがとうございました！