立方体の塗り分け

質問

立方体を６色全部使った色の塗り分け方は何通りあるか。

よくあるのは、５×３！の計算（１面を固定して、向かいの面が５通り、側面３！）

聞きたいのは、６面をアイウエオカとし、これに６色を並べて、６！
この６！に同じ塗り方が答えの３０通りから逆算すると、２４通りになるが、
どうやって２４通りをもとめればよいのか。教えてください。よろしくお願いします。

回答No.5

momordica · ベストアンサー

立方体には正４角形の面が６こありますよね。

例えば、立方体の１面だけを赤く塗り、さらに赤の隣の１面を青く塗ったものを考えてください。
赤い面をどの面に一致させるかは、立方体の面の数である６通りあります。
さらに、赤い面をその向きに固定すると、青い面は赤い面と隣り合う４つの面のどれかに
なりますので、その位置のパターンはは４通りあります。
そして、隣り合う２面の位置が決まれば、これ以上回転させることはできません。
したがって、面の数６と、１つの面の辺の数４をかけた２４が、回転のさせ方の数になります。

同様に、
　正４面体なら、４×３＝１２通り
　正８面体なら、８×３＝２４通り
　正１２面体なら、１２×５＝６０通り
　正２０面体なら、２０×３＝６０通り
となります。

お礼

回答ありがとうございます
赤青ときて、次の面の色を塗るときから、
重複にならないということですね。

回答No.8

tarame

まず、「ア」の面を決めます　（６通り）
その裏面を「イ」とします　（１通り）
次に残りの面から「ウ」の面を決めます　（４通り）
右回り（左回り　どちらでもよい）に「エ」「オ」「カ」とします　（１通り）

よって、６×１×４×１＝　２４　通り

回答No.7

hrsmmhr

さいさいすみません。No6です
皆さんが正しいのに納得しました。m(..)m

回答No.6

hrsmmhr

申し訳ありません
No３は間違いでした
立方体の色分けは5*3!/2!で15通りで
6!の塗り分けからの同じ塗り方が48通り

どの面を固定するかで6通り
裏と入れ替えれるので2通り
裏表軸の回転で同じものがあるので4通り
で48通りです

でも皆さんと違いますね…
何が違うのかよく判らない…

回答No.4

Mr_Holland

ANo.1です。
＞次に向かい合う2面が移動できるのは6通りあります。の意味がよく分かりませんでした。

　固定した2面がとりうる場所（面）は6通りあるという意味です。
　固定した2面のうち1面が決まれば他方の面は決まりますので、この1面がとりうる場所（面）が6通りあると考えても構いません。

回答No.3

hrsmmhr

立方体の色分けって…
6C2*3!=90通りではないですか
そこから類推される同じパターンは8通り
１面が固定できて向かいと入れ替えれるので２通りで割れて
回転方向の同じパターンが４通りで割れるのだと思います

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

サイコロを重心を中心に、サイコロの面に垂直に通る
軸で 90 度単位に回転させると、面の向きは

1) 特定の面(例えば１の目の面)の向き = 6通り
2) 特定の面(例えば１の目の面)の向きを保った回転=4通り

の組み合わせに重複は無いので

6 x 4 = 24通り。

回答No.1

Mr_Holland

1つのパターンが何通り重複しているのかを考えればよいと思います。
　向かい合う2面を固定すると、回転させただけのものが4通りあります。
　次に向かい合う2面が移動できるのは6通りあります。
　あとはこれらの積をとって24通りが得られます。

お礼

回答ありがとうございます
この表現が「1つのパターンが何通り重複しているのかを考えればよいと思います。」
質問したかったことで、分かりやすいと思いました。
次に向かい合う2面が移動できるのは6通りあります。の意味がよく分かりませんでした。