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円順列？立方体の塗り方
立方体を6色の色で塗り分けるという問題。 一番最初に一番上の面を１色固定して、その下の面を残りの5色から１つ選らんで、側面を（４－１）！で円順列として解く（隣あう面は違う色） ⇔５Ｃ１×（４－１）！ となるそうなんですが、私は固定した一番上の面を塗る場合の数も考え、 ６×５Ｃ１×（４－１）！ にしました。 コレは何でダメなんですか？？
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結局、この問題は円順列の2段活用なんです。 円順列を復習してみましょう。考え方には二通りあり １．n種類の札を円状に並べるには n!で計算される組み合わせが1種類につきn個ずつ 重複しているので n!/n=(n-1)! ２．回転させて同じものを一つと数えるのなら 一箇所の札を最初から固定して後の組み合わせを数える ことで計算できる。 (n-1)! 結局、円順列を数えるときは1箇所を1つに固定して考えるのが 有効です。 これを立方体に広げているのがこの問題です。 これも回転させて同じものは1つと考えるので 1箇所を固定して考えています。(⇒上面の色は固定) その上で、下面の色を選択(5C1)、残った色で 再度円順列(4-1)! だから5C1*(4-1)!ですね。 最後に6をかけては、せっかく円順列の考え方で固定して 勘定した組み合わせを、最後に固定した部分にn通りの入り方が あるので (n-1)!*n=n! として普通の順列に戻しているのと変わりませんよ。
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- inayou
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立方体なのでどの面が上になるかは決まりません。 いってみれば、どの面が上でもよいわけです。 つまり、どの面を上としてみてもよいということです。 その条件での塗りわけなので、色を選ぶことができる面は、 固定した面の下の面と側面の５つの面になります。 よって５Ｃ１×（４－１）！通りになります。
- pocopeco
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どの面も区別のない立方体だと、６×５Ｃ１×（４－１）！では重複して数えているのです。 上面に赤を塗った場合、上面は赤でないけれど下面が赤の場合、側面が赤の場合があります。 しかし、転がして同じ塗りかたにみえるものはダメです。 それぞれ違う塗り方か調べるときに、赤の面を上に向けて見比べます。なので、残り５色の順番を考える事になって、 ５Ｃ１×（４－１）！ うまい説明が思い付かないです。ごめんなさい。
- since1983
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一番上の面を塗るときの場合わけをしても、回転させると同じものが6通りずつ出来てしまい、あとから6で割らなくてはならないからだと思いますが・・・
