確率論の命題の証明

質問

長文で恐縮ですが、以下の命題の証明に手間取っております。よろしければお力添え願えないでしょうか。

{X_i}を独立な確率変数列、A>0を定数（ただし、値は必ずしも同じでなくても良い）、Λを|Λ|<=Aを満たす定数、Pを以下のような確率であるとします。

P= K(n) × 1 / {log(s_n)}^{1－δ} －Λ×Γ_n / (s_n)^3、
K(n) = 1/ √{4π(s_n)^2 (1－δ) loglog(s_n) }

ただし、s_nはΣX_i（iは1からnまで）の標準偏差、Γ_nをΣX_i（iは1からnまで）の三次絶対モーメントです。s_n >=自然対数eで、n→∞のときs_n→∞となります。

このとき、0<ε<1を満たすあるεについて、

　　Γ_n / (s_n)^3 <= A / {log(s_n)}^{1+ε} 　 (1)

を満たすとき，0<δ<εを満たす任意のδについて

　　P >= A / {log(s_n)}^{1－(δ/2)}　　(2)

が成り立つことを示したいのですが、証明が上手くいきません。

不等式(1)を用いて

P = K(n) × 1 / {log(s_n)}^{1－δ} －Λ×Γ_n / (s_n)^3
>= K(n) × 1 / {log(s_n)}^{1－δ} －|Λ|×Γ_n / (s_n)^3
>= K(n) × 1 / {log(s_n)}^{1－δ} －|Λ|×A / {log(s_n)}^{1＋ε}　

というようにやっていくと思われますが、下から押さえることが中々できません。

ちなみに、テキスト (A Course in Probablity Theory, ChungのP244-245) では、
「Pは確率であるから、｜Pの第二項｜<=｜Pの第一項｜となり、ゆえに(2)が成り立つ」という内容しか書いておりませんでした。

ご教授よろしくお願い致します。

回答No.2

ramayana

ANo.1です。
見当違いかも知れませんが・・・

K(n)の式を眺めると、重複対数の法則に関する議論に関係がありそうに見えます。すると、

　　P= K(n) × 1 / {log(s_n)}^{1－δ} ＋Λ×Γ_n / (s_n)^3

の式が、すごく怪しく感じられます。例えば、P = Pr(右辺≧0)とかいう式だったら見慣れた形です。しかし、上のように、標準偏差や３次絶対モーメントを含む式がむき出しで、ある確率になる、という式は、Xiが一様分布であるなど極めて特殊なケースを除き、私の経験では見たことがありません。

あるいは、Pの定義が別にあって、上の式を満たすようにΛを定める、という話なら、まだ分かります。

上の式が誤植ではないか、という発想も含めて、この式がどんな文脈で出てきたのかを吟味すると、途が開けるかもしれません。ANo.1でも書いたように、今の形のままで（２）式を証明するのは、無理です。

お礼

わかりました、もう少し考えてみます。どうもありがとうございました。

回答No.1

ramayana

条件が足りないように見えます。

Aに関する条件には、「Aが何か以上」というタイプのものしかありません。これらの条件から、（２）式のように、「Aが何か以下」という結論が導かれることは、ありえないように思われます。

お礼

私も確かに条件がたりないと思いますが、これ以上の条件は記載されておらず、

テキストでも「(1)より、Pの第一項は第二項より絶対値の意味で大きいから、(2)がいえる」としか書いておりませんでした。

第一項が第二項より（絶対値の意味で）大きいのは確率の定義より当たり前なので、このようなことを言っているかわかりません．．．

補足

Pの定義にミスがありました。

P= K(n) × 1 / {log(s_n)}^{1－δ} －Λ×Γ_n / (s_n)^3

ではなく、

P= K(n) × 1 / {log(s_n)}^{1－δ} ＋Λ×Γ_n / (s_n)^3

でした。失礼致しました。