流体力学

質問

半径50cmの球が水に浮かんでいる。球の中心の水面からの高さは10cmである。水面下の球面にはたらく圧力から球の質量を求めよ。

この問題が解けなくていきづまっています。
-(1/ρ(r))∇P(r)+f(r)=0
(r:ベクトル f:ベクトル---点rにはたらく単位質量あたりの外力 ρ:スカラー--密度 P:スカラー--圧力)
という式は知っているのですが・・・

回答No.2

tomtak · ベストアンサー

圧力Ｐ(z)は、水面からの深さをz、重力加速度をgとおくと、
Ｐ(r)=-ρ(r)zg
なので、
球の受ける力は、
F =∫ρ(r)f(r)dV
　=∫∇Ｐ(r)dV
　=-∫∇gzρ(r)dV

今、ρが一定とすると、∇gzρ=(0,0,gρ)となるので、
Fのz成分は、

F_z　=-g∫ρdV
　　=-gρV

となります。
ここでVは、球が水面に浸かっている部分の体積です。

これが球の受ける重力と釣り合うので、Mg+F_z=0
すなわち、

M=ρV

となります。
Vは球が水面に浸かっている部分の体積だったので、
球の中心の水面からの高さをa、球の半径をrとすると、

V=∫(z=a→r)π(r^2-z^2)dz
　=π(2r^3+a^3-3ar^2)/3

となります。
これにa=10cm、r=50cmを代入すれば
Vが求まります。

ちなみに私が計算したところ、

M=π・(2・125+1-3・25)/3 kg
　=184.3 kg

となりました。

何か重すぎるような気もしますが・・
どうでしょうか？

お礼

ありがとうございます。

>球の受ける力は、
>F =∫ρ(r)f(r)dV
>　=∫∇Ｐ(r)dV
>　=-∫∇gzρ(r)dV

ここのところは、球の受ける力ではなく、水が球から受ける外力の総和->重力に相当
と考えました。

回答No.1

noname#21649

http://irws.eng.niigata-u.ac.jp/~chem/itou/fl/fl_home.html
内
http://irws.eng.niigata-u.ac.jp/~chem/itou/fl/fl8.html
で何とかなると思います。方程式の解法はご存知ですね。