宇宙の曲率Kの次元が【L＾（-2）】の理由

質問

はじめまして。よろしくお願いします。

宇宙論のRW時空に曲率Kが出てきます。
Rを曲率半径とすると

K=１/（R＾２）　（＞０）
または
K＝ー１/（R＾２）　（＜０）
または
K=０
と３通りあります。

これらの曲率Kの次元は【L＾（－２）】ですが、
「曲線の曲率」K_ｌの次元は【L＾（-1）】です。

曲線の曲率K_lの方は教科書を読んで、どういう理由で次元が【L＾（-1）】になったのかわかるのですが、
RW時空の方の曲率Kのほうは、どのとうな理由から次元が【L＾（-2）】になるのか？よくわからなかったです。
できれば、詳しく教えていただけないでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.2

noname_deadbeef · ベストアンサー

曲率半径の逆数としての曲率を立てたラグビーボールに当てはめると、経線方向の曲率が小、緯線方向の曲率が大となります。円柱の側面なら高さ方向の曲率はゼロです。
円柱の側面に住んでいる二次元人は自分がいるのが平面なのか円筒面なのかはわかりません。
平面なのか球面なのかなら「円周率を測定してみる」という方法で区別できます。この方法で求められるのがガウス曲率です。ガウス曲率は上記の曲率と関係はありますが別物です。
ここから先はリンク先等をご参照のこと。RW計量の曲率はガウス曲率のことみたいですね。

曲線の曲率の符号が曲率半径の符号（右カーブか左カーブか）に対応するとすると、その曲率をそのまま当てはめても「負の半径の球」になってしまい「鞍形面」にならない感じがしませんか？このあたりに【L＾（－２）】である理由がありそう

参考URL：

http://www.geocities.jp/maeda_hashimoto/tor/tor_ch02pr03p04.htm

回答No.1

ibm_111

RWメトリックの導出を見ればいいわけですが
http://homepage2.nifty.com/eman/relativity/flrw.html
どのような理由と言われても・・・
導いてみたらそうなるとしかいいようがない気がします。

結局、メトリックは三平方の定理の拡張なわけで、等方を仮定すると、
ds^2=f(r)dr^2+(θ、φ方向)　（時間軸は無視）
ここで、一様を仮定すると、f(r)=f(-r)
したがって、f(r)は実はr^2の関数でこの次元をキャンセルするために
R^-2が出てくるわけですが。
なんでR^-4やR^-6でないのかと言われたら、
RWメトリックの導出を見るしかないんじゃないかと。