具体例教えてください。

質問

今日学校でユークリッド幾何についてやったのですが、その中で
「∃f'(x)があっても
　　　　f'(x):R→Rは連続関数とは限らない」
という注意があったのですが、具体的な関数がないといまいち理解できません。
具体例を何か教えていただけませんか？

回答No.2

waseda2003 · ベストアンサー

f(x)を

f(0)=0，x≠0のとき f(x)=(x^2)*sin(1/x)

により定義すると，

f ' (0)=lim_(x→0) f(x)/x = 0

となりますが，x≠0のとき

f ' (x) = 2x*sin(1/x) - cos(1/x)

ですから， f ' (x)はx=0で不連続です。

これは，Weierstrass（ワイエルシュトラス）の例といって，大学では有名です。

回答No.3

t-aoba

♯１を書いたものです。
♯１の例は不適切です。
f'を（微分記号を度外視して）ただの関数としてみてしまい、f'について勝手な定義を与えてしまいました。すみません。

正しい具体例は♯２で書かれている通りです。

もう一つ加えるなら
f(x)=x+x^2sin(1/x^2) (x≠0)
f(x)=0 (x=0)
と定義すると
f'(0)=1
f'(x)=1+2xsin(1/x^2)-(2/x)cos(1/x^2)
となりf'(x)はx=0で不連続です。

回答No.1

t-aoba

「'」が見えにくいのでf'(x)=F(x)と書くと

∃F(x):R→R, F(x)は連続関数ではない

ということですよね？
これは連続関数でない関数が存在するってことです。
具体例をあげると
F(x)=1 (xが有理数)
=0 (xが無理数)

書き間違えはありませんか？