楕円幾何学とは何ですか？

質問

非ユークリッド幾何学について調べていたのですが、楕円幾何学という言葉をきいても具体例が乏しくてなんのことやらよくわかりません。
さわりだけでもよいので教えて頂けませんか？

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

ユークリッド幾何の第五公準を
以下のものに置き換えたものです

一直線LとL外の一点pに対して
pを通りLと平行な直線は存在しない

これの例としてよくでてくるのが「球面幾何」です．
つまり，球面上で考える幾何です．
球面の中心を中心とし，球面上の二点x，yを通る円を考えます．
このとき短い弧xyを球面上の「直線」とします．
こうするとこれは「楕円幾何」の例になります．
球面の極率は正だということもポイントです．

もういっぽうの双曲幾何ですが・・
これはちょっと説明しにくい・・・
曲率が負ってのが言葉だけだとつらいですが
「馬の鞍」みたいな「ひっこんだ」イメージでしょうか．
これを球面モデルのような「モデル」で書いたものに
ポアンカレモデルとかミンコフスキモデルってのがあります．

お礼

ありがとうございます。
なぜ「球面幾何学」と呼ばずに、楕円なのだろう？球面と楕円は別物として存在するのだろうか？と混乱しておりました。

でも、球面上の幾何学における円を考えると、どうしても楕円になってしまう。
そこから「楕円幾何学」という呼称がついたと考えてよろしいのでしょうか？

また、負の場合には「最短距離が直線」と定義すると、図形の内側に向かって歪曲してしまう場合と考えてよろしいのでしょうか？
その点を楕円と比較して「双曲線幾何学」と呼んでいるということで大筋あってますかね…。
数学における何の値が負になると、そのようになるのか今の私にはわかりませんが…

回答No.1

N64

「リーマンとアインシュタインの世界」リワノワ著東京図書と言う本の68ページの最後に、リーマンの幾何学には「楕円幾何学」という別名、ロバチェフスキーの幾何学には「双曲線幾何学」という別名があると言うことが書いてあります。リーマンの幾何学では多様体（空間）の曲率が正、ロバチェフスキーの幾何学では負だそうです。

お礼

ご回答ありがとうございます。

リーマンの幾何学＝楕円幾何学
ロバチェフスキーの幾何学＝双曲線幾何学

という認識で間違いないでしょうか？