連続で微分不可能な関数の例

質問

y=|x|（ｘ＝０）以外で、ある点で連続で微分不可能な関数の例を教えてください。

回答No.4

oshiete_goo · ベストアンサー

チョー有名な例ですが,
f(x)=x・sin(1/x) [x≠0のとき], また f(x)=0 [x=0のとき]
で定義される関数.
[x=0の点で連続だが, x=0で微分不可能]

回答No.9

鳴瀬 美幸（@naruse）

#7です。＞#8
了解しました。感謝感激です！
（f(x)≧1/nはf(x+h)≧1/nに読み替えました。）

お礼

ご解答してくだされたみなさんどうも有難うございます。ある大学の入試問題で、このような問題がありまして、ほかにどのような関数があるのだろうと思った次第です。

回答No.8

milkysugar

＃6です．＞＃7

(f(x+h)-f(x))/hを考えるわけですが，xが無理数ならf(x)=0です．
この時，任意の自然数nに対して，ある整数kが存在して，k/n < x < (k+1)/nとなります．
よって h = (k+1)/n - x と置いてやればf(x)≧1/n （等号成立は(k+1)/nが既約分数のとき），
また 0 < h < 1/n だから，(f(x+h)-f(x))/h > 1です．
さらに，nをどんどん大きく取ってやればhはどんどん0に近づきます（有理数の稠密性というやつ）．
一方x+hが無理数ならこの値は0ですね．従って極限値は存在しません．

回答No.7

鳴瀬 美幸（@naruse）

質問者を差し置いて外野が質問してすみません。

milkysugarさんにお尋ねします。
>xが無理数ならそこでは連続ですが微分不可能です．
連続性はよく知られていますので結構なのですが、微分不能性は
どのように示すのですか？
ちょっと調べましたが解析はまともに勉強していなかったのでわかりませんでした。
よろしくお願い致します。ｍ(。。)ｍ

回答No.6

milkysugar

かなりビックリな例ですが，
f(x)　= 0 if x:無理数
　　　= 1/q if x:有理数，既約分数表示の分母がq>0
という関数は，xが有理数ならそこでは不連続，xが無理数ならそこでは連続ですが微分不可能です．

回答No.5

good777

例1　ｙ＝｜sinx｜
例2　ｙ＝√｜x｜
例3　ｙ＝ｘ+｜ｘ｜

回答No.3

ageha18

y=|x-1|(x=1),y=2x|x-1|+3(x=1)などなど...。

こんな感じならいっぱいありますよ。

もっと例を書きたかったのですが、２乗の表し方がわからなくて...(^_^;)

参考にしてみて下さい。。。

回答No.2

terra00

セレリエの曲線。

参考URL：

http://www.synapse.ne.jp/dozono/math/mathUniv/no05.htm

回答No.1

noname#8570

f(x)=√x (x>=0)
などはいかがでしょう？
x=0で連続であるが，微分可能ではありません．