高校数学の問題です。

質問

F(z)=z^(2n)+z^n+1があり、nを正の定数とする。
F(z)をz^2+z+1でわったあまりを求めよ。

僕の考え。
商をQ(z),余りをaz+bとして、
F(z)=Q(z)(z^2+z+1)+az+b
それで、z^2+z+1＝０の解より、ｚ＝ωを持ってきて、
F(ω）＝aω＋ｂとしたところで、詰まりました。
どうすればいいんでしょうか？

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

＞nを正の定数

定数ではなく、整数の間違いじゃないか？

君の方針で良い。

F(z)＝Q(z)*(z-ω)*（z-ω＾2）+az+bが成立する。‥‥(1)
つまり、F(z)-（az+b）＝Q(z)*(z-ω)*（z-ω＾2）であるから、z＝ω、z＝ω＾2に対しても(1)が成立する。
と、ここまでは良いだろう。但し、zはz＾3＝1を満たす事に気がつかないと、厳しい。

次の問題は、“nを正の整数”として、n＝3m、3m＋1、3m＋2で場合訳分けが必要になるだろう。

続きは、自分でやってみて。

お礼

ありがとうございます！
三十根ですから、そういう場合訳をするんですね～
ありがとうございました。
完成させます

回答No.1

himajin100000

>z^2+z+1＝０の解より、ｚ＝ωを持ってきて、
共役な複素数二つが解になるんじゃない？

ω,ω'とすると

aω + b = ω^(2n)+ω^n + 1
aω'+ b = ω'^(2n)+ω'^n + 1

複素数の累乗はドモアブルの定理でどうにかなりそうかな。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%89%E3%83%BB%E3%83%A2%E3%82%A2%E3%83%96%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86

後は連立方程式で。