ベクトル解析の問題

質問

R=(x,y,z)　r=|R|　f(r)はrの関数とするとき、
▽^2f(r)=f"(r)+2/r*f'(r)
が成り立つことを証明せよって問題なのですが、どなたか解放を教えてもらえませんか。
ちなみに▽^2はラプラシアン、Rはベクトルです。

回答No.1

brogie · ベストアンサー

f(r)をxで微分すると
∂f/∂x＝∂f/∂r*∂r/∂x

これをもう１度xで微分して
∂^2f/∂^2x＝(∂^2/∂^2r)*(∂r/∂x)^2＋(∂f/∂r)*(∂^2/∂x^2)
（yとzについても、微分して求め、これら3式を加える）

ここで
r^2＝x^2＋y^2＋z^2
r∂r/∂x＝x
∂r/∂x＝x/r

であるので
∂^2r/∂x^2＝1/rー(x/r^2)*(x/r)＝1/rー(x^2/r^2)*(1/r)
∂^2r/∂y^2＝1/rー(y/r^2)*(y/r)＝1/rー(y^2/r^2)*(1/r)
∂^2r/∂z^2＝1/rー(z/r^2)*(z/r)＝1/rー(z^2/r^2)*(1/r)

この3式を辺々加えて
∂^2r/∂x^2＋∂^2r/∂y^2＋∂^2r/∂z^2＝3/rー1/r＝2/r

これらから求めることが出来ます。

お礼

brogieさん、わかりやすい解答ありがとうございました。
大変助かりました。
　siegmundさんも極座標でやる方法は、授業で習ってなかったので、大変ためになりました。
　またよろしくお願いします。

回答No.2

siegmund

ラプラシアンの極座標表現
(1)　　∇^2 = (1/r^2)(∂/∂r)(r^2・∂/∂r)
　　　　　　　+ (1/r^2 sinθ)(∂/∂θ)(sinθ・∂/∂θ)
　　　　　　　+ (1/r^2 sin^2 θ)(∂^2/∂φ^2)
を知っていれば一発ですが，これは反則かな？
f(r) は r だけの関数で，θやφには無関係ですから，
計算は簡単ですね．

ただし，ラプラシアンの直角座標表現から(1)の極座標表現を求めるには，
結局 brogie さんと似たようなことをやらないといけません．