ベクトルと平面図形の問題です。

質問

ベクトルと平面図形の問題です。
?OABにおいて、OAベクトル＝aベクトル、OBベクトル＝bベクトルとする。│aベクトル│＝２、│bベクトル│＝３、│aベクトル＋bベクトル│＝４のとき、?OABの面積を求めよ。【答え：(３√１５)/４】

解答・解説をよろしくお願いいたします！

回答No.3

Hyokko_Lin · ベストアンサー

|aベクトル+bベクトル|^2=|aベクトル|^2+2*(aベクトル)・(bベクトル)+|bベクトル|^2
4^2=2^2+2*(aベクトル)・(bベクトル)+3^2
∴(aベクトル)・(bベクトル)=3/2

ここで、ベクトルでの三角形の面積の公式
?OAB=(1/2)*√[(|aベクトル|*|bベクトル|)^2-{(aベクトル)・(bベクトル)}^2]
より、
?OAB=(1/2)*√[(2*3)^2-(3/2)^2]
=(3√15)/4

ベクトルの足し算の長さが出てきたら、2乗すると上手くいくことが多いです。
また、ベクトルでの三角形の面積の公式は意外と使うので覚えておきましょう。
以下、適当に参考リンク。
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/vector/sankakkei-no-menseki.html

補足

回答ありがとうございます。
4^2=2^2+2*(aベクトル)・(bベクトル)+3^2　とはどうやって求めたのでしょうか。
お時間あればまた回答くれるとうれしいです＾＾

回答No.4

Hyokko_Lin

補足の質問に対して回答します。

まず、自分同士のベクトルの内積は、そのベクトルの長さの2乗に等しくなります。
(説明)
内積の定義より、
(aベクトル)・(aベクトル)=|aベクトル|*|aベクトル|*cos(θ)
ですが、自分自身となす角はθ=0°なので、cos(θ)=1
よって、
(aベクトル)・(aベクトル)=|aベクトル|^2
となります。

この問題では、まず、
(aベクトル+bベクトル)・(aベクトル+bベクトル)
を計算します。
この内積を展開することにより、
(aベクトル+bベクトル)・(aベクトル+bベクトル)
=|aベクトル|^2+2*(aベクトル)・(bベクトル)+|bベクトル|^2……(1)
を得ます。
一方で、
(aベクトル+bベクトル)・(aベクトル+bベクトル)=|aベクトル+bベクトル|^2……(2)
(1)=(2)より、
|aベクトル+bベクトル|^2=|aベクトル|^2+2*(aベクトル)・(bベクトル)+|bベクトル|^2
となります。
あとは問題文に書かれているベクトルの長さを各々代入していけば、先の解答の2行目になります。

お礼

とても丁寧な解説、ありがとうございました
よく理解できました＾＾

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。

解答はすでに「答え」として書いてあるので考え方を。
まず、三角形の面積を求めるために何が欠けていると思いますか？
2辺の長さはわかっているので・・・

それを求めるために、3つ目の条件である |a→+ b→|＝ 4を変形します。
両辺を 2乗して整理すれば、内積の値がわかります。

一度、計算を進めてみてください。
丸々聞いているだけでは、身につきませんよ。

お礼

回答ありがとうございました！
自分の力で解いていくことができるように、頑張ります

回答No.1

nattocurry

Oからaベクトル＋bベクトルの位置をCとした場合、
OACBは平行四辺形になります。これは解りますか？
そして、平行四辺形OACBは、三角形OABの2倍の面積になります。これは解りますか？
そして、三角形OACは、平行四辺形OACBの半分の面積になります。これは解りますか？
つまり、三角形OABと三角形OACは同じ面積になります。これは解りますか？
OA＝|aベクトル|、AC＝OB＝|bベクトル|、OC＝|aベクトル＋bベクトル|、となります。これは解りますか？
三角形OACは、各辺が、2、3、4、の三角形となります。
あとはヘロンの公式を使うだけです。

お礼

そういう解き方もあるのですね
またやってみます！