広義積分の証明の仕方

質問

広義積分について習っていない者なのですが、
次のような課題が出たので
できれば詳しく説明していただけたらうれしいです。
よろしくお願いします。

　　　　∞　 -x^2
　(1)　∫　 e　　　　dx = √π　を証明せよ。
　　　 -∞

　（補足：eは(-xの二乗)乗です。πはルートの中に入っています。）　　

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　　 　　 1　　　 ∞ -{(x-μ)^2}/(2σ^2)
　(2) ―――――　∫　e dx = 1　を証明せよ。　
　　　 √2π・σ 　-∞

　（補足：2πは√の中に入っていて、σは√の外に出ています。eは-{(x-μ)の二乗／2σの二乗}乗です。）

回答No.1

kony0 · ベストアンサー

微積演習の問題集かなにかを、大学生協あたりで購入されてはいかがでしょうか？

(1)
I = ∫{-∞～+∞} e^(-x^2) dx とおく。
I^2 = (∫{-∞～+∞} e^(-x^2) dx) * (∫{-∞～+∞} e^(-y^2) dy)
= ∬{[-∞～+∞]×[-∞～+∞]} e^(-(x^2+y^2)) dxdy
ここで、極座標変換する。あとはただの計算だけ。
ただし、もしかして極座標変換を知らなかったら辛いでしょうから・・・
x=rcosθ, y=rsinθ とおけば、ヤコビアンとって、dxdy = rdrdθ
(x,y)∈R^2 → (r,θ) ∈ [0,∞)×[0,2π)
最後にルートをとりますが、もちろんe^(-x^2)>0 for all x より、I>0 であることは明らか。

(2) 正規分布の全確率は１だから・・・じゃなくて、その事実を式計算する問題なのですね。
(x-μ)/(√2) σ = y とおけば、dx = (√2) σdy で、あとはちょうど(1)の形が出てきません？

(1)は大学１・２回生程度の計算で、知らなかったらできないかもしれませんが、少なくとも(1)が与えられていたときの(2)は高校生レベルと思うのですが・・・。

お礼

さっそくのお返事本当にありがとうございます。
(1)については初めて見た式だったので、
どのように手をつけていいのかわかりませんでした。
kony0さんの答えを参考にさっそくやってみたいと思います。
本当にありがとうございました。

回答No.2

siegmund

(1) kony0 さんの示された方法が一般的ですが，別解として
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=191061
の私の回答の方法もあります．

(2) は kony0 さんのおっしゃるとおり，変数変換で(1)に帰着できます．

お礼

お返事をくださって、本当にうれしいです。
さっそくhttp://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=191061のほうを
見させていただきました。
また、http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=185532も
参考にさせていただこうと思います。
これからも分からない事が多いと思いますので、よろしくお願いします。
本当にありがとうございました。