積分が出来ません！教えて下さい．

質問

∫√(1/x - 1)dx
のxが0からaまでの積分が出来ません．
どのようにすればよいでしょうか?

ルートがかかっています．
ごめんなさい

回答No.6

-somebody- · ベストアンサー

朝の加減な解答(大いに間違えている)本当に申し訳ないです。

私はあまり非有界区間の積分について詳しくない(というかほとんど知らない)ので
info22さん(No.5で回答されている方)のお話を参考になさってください

ただ間違えた解答をダラダラ訂正せずにいるのもどうかと思ったので
一応No.1の方針で回答するときの方針と(その計算の場合の)正しい答えを書いておきます。

方針1：逆関数を利用して計算。計算量が少ないのがポイント。
定積分の値が有限で定まるのは
0<a≦1の範囲。

f(x)=(Arctanx)'=1/(x^2+1)とすると
f(x)の逆関数g(x)は
g(x)=√(1/x - 1)であるので
グラフを書いてやると
g(a)=√{(1-a)/a}
f(g(a))=a
求める範囲は
f(x)の0≦xにおける面積π/2から
∫[0,√{(1-a)/a}]f(x)dx-a√{(1-a)/a}
(前の積分はf(x)の[0,√{(1-a)/a}]における面積。後半の値は余分な長方形の分。)
を引いた値となり
求める面積は
π/2-arctan√{(1-a)/a}+a√{(1-a)/a}
=π/2-arctan√{(1-a)/a}+√{a(1-a)}となって
No.5のinfo22さんの答えと一致します。

方針2：普通になんのひねりも無く置換積分をしちゃいます。
x=cos^2θと置換してやれば
積分区間は
θ=π/2→cosθ=√aとなるθ(このときのsinθ=√(1-a))
で
dx=-2sinθcosθdθなので
∫[π/2,arccos√a](tanθ)(-2sinθcosθ)dθ
=-∫[π/2,arccos√a]2sin^2θdθ
=-∫[π/2,arccos√a](1-cos2θ)dθ
=-[θ-1/2sin2θ][π/2,arccos√a]
=-(arccos√a-√a×√(1-a))+π/2
=π/2-arccos√a+√{a(1-a)}
となります。
この答えは上記のものと一見違うようですが
Arccos√a=θとすると
このθは
斜辺1
正弦√(1-a)
余弦√a
となる直角三角形の角度なので
Arccos√a=Arcsin√(1-a)=Arctan√{(1-a)/a}
が成立しますので
間違ってないですね。

回答No.5

info22

∫[0,a]√(1/(x - 1))dx なら被積分関数の定義域は
x＞1　なので 0からの定積分はできません。

∫[0,a]√((1/x)-1)dx なら
=∫[0,a]√((1-x)/x)dx なので被積分関数の定義域は
(1-x)/x≧0から　0＜x≦1 なので
0＜a≦1の場合
=[x√{(1-x)/x}][0,a}-∫[0,a] x[√{(1-x)/x}]'dx
=[√{x(1-x)}][0,a}+(1/2)∫[0,a] 1/√{x(1-x)}dx
=√{a(1-a)}+(1/2)∫[0,a] 1/√{(1/4)-(x-1/2)^2}dx, x-1/2=tと置換
=√{a(1-a)}+(1/2)∫[-1/2,a-1/2] 1/√{(1/4)-t^2)dt, t=(1/2)tan(y)と置換
=... (途中略）
=√{a(1-a)}-[arctan√{(1-x)/x}][0,a]
=√{a(1-a)}-arctan√{(1-a)/a}+π/2

a＞1の場合未定義域を含むので定積分はできません。

回答No.4

-somebody-

と…とうとう4件目…orz

cosθ=√aとなるθ(このときのtanθ=√(1/a-1))→θ=0

結果は
π/2-√(1/a-1)/2
でした。。。

回答No.3

-somebody-

一人で三件もごめんなさいorz
やっぱり私の回答だと
0<a≦1の範囲の方がいいですね。
更に
cosθ=√aとなるθ(このときのtanθ=√(1-1/a))→θ=0

で
結果も
π/2-√(1-1/a)/2
でした。。。

回答No.2

-somebody-

π/2-∫[arccos√(1/a),0](1/tanθ)(-1/2sinθcosθ)dθ
=π/2-1/2tan(tanθ=√(1-a)となるθ)+1/2tan0
=π/2-√(1-a)/2

でした。

回答No.1

-somebody-

√(1/x - 1)
この関数
tanxの逆関数である
Arctanxを微分した関数の逆関数ですね。

つまり
f(x)=(Arctanx)'=1/(x^2+1)とすると
f(x)の逆関数g(x)は
g(x)=√(1/x - 1)ですね。
(厳密には正負の話があると思いますがあまり時間が無いので割愛させていただきます。)

虚数範囲での積分には詳しくないので
0≦a≦1という仮定で話を進めさせてください。
∫[0,∞](arctanx)'dx=π/2であり
x=cos^2θと置換してやれば
積分区間は
cosθ=√(1/a)となるθ(このときのtanθ=√(1-a))→θ=0
で
dx=-2sinθcosθdθなので
π/2-∫[arccos√(1/a),0](1/tanθ)(-1/2sinθcosθ)dθ
=π/2-tan(tanθ=√(1-a)となるθ)+tan0
=π/2-√(1-a)

となってくれるはずです。

時間がないので
駆け足で乱雑な回答になってしまいました。
すみません。