ベクトルの問題がわかりません!!??

質問

次の問題がわかりません．

空間における平面(a,x)=0に関する折り返しはV^3の線形変換を引き起こすことを示し、その変換公式を求めよ．

と言う問題です．
まず平面(a,x)=0とはベクトルaとxで出来る平面のことでしょうか？また折り返しとはその平面に対して反対側の点でよいのでしょうか？

答えは

x→x-2(a,x)a/(a,a)

だそうです．
よろしくお願いします．

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

>平面(a,x)=0とはベクトルaとxで出来る平面のことでしょうか？
(a,x)というのはベクトルaとベクトルxのスカラー積(内積)のことです。
(a,x)=0とは、ベクトルaとのスカラー積が"0"になる点xを意味し、そのようなxの集まりはベクトルaに垂直で原点を通る平面になります。

>折り返しとはその平面に対して反対側の点でよいのでしょうか？
そうです。

任意の点Pとすると求める点P'として次の条件を満たせばよい。
Pから平面に降ろした垂線の足をHとするとHはPP'の中点となる。
この条件を式にしてP'の位置ベクトルをPの位置ベクトルxで表せばよい。

補足

平面(a,x)＝0に対して対象になるように点Pを移動するんだとしたら、答えがx→x-2(a,x)a/(a,a)となるのはどうしてでしょう？xはaとの内積が0になるベクトルなのでこの答えの書き方はおかしいと思うのですが・・・

回答No.2

nag0720

＞xはaとの内積が0になるベクトルなのでこの答えの書き方はおかしいと思うのですが・・・

平面(a,x)=0
で書いているxと、
x→x-2(a,x)a/(a,a)
で書いているxは別物です。

後者のxは空間上の任意のベクトルです。(a,x)=0を満たすとは限りません。