S＝1/6{√(m^2－8m＋24)}^3の最大値

質問

放物線と直線で囲まれた図形の面積Sを求める問題の一部分なんですが、
『S＝1/6{√(m^2－8m＋24)}^3＝1/6{(m－4)^2＋8}^3/2
(m－4)^2＋8はm＝4で最小値8をとるから、Sはm＝4で最小値8√2/3をとる。』

と書いてあるのですが、これは、『√(m^2－8m＋24)≧0だから{√(m^2－8m＋24)}^2が最小となるとき、√(m^2－8m＋24)も最小となる。
√(m^2－8m＋24)≧0だから√(m^2－8m＋24)が最小となるとき{√(m^2－8m＋24)}^3も最小となる。』
ということを簡潔に言っているのでしょうか？
その前にそもそも『f(x)≧0、nは自然数のとき、f(x)はx＝～で最小となる⇔{f(x)}^nはx＝～で最小となる』というのは正しいでしょうか？
『a＞0、b＞0、nは自然数のとき、a＜b⇔a^n＜b^n』と参考書に書いてあったことから考えたんですが…
よく、絶対値とかの最大、最小を求めるときに、『A^2は～のとき最大となり、A≧0だから、このときAも最大となる。』というのを使いますが、それもこれのn＝2の場合なのかな？と思ったのですが…
どなたか回答くださると助かります(>_<)

回答No.1

noname#151558 · ベストアンサー

実は"fの狭義の単調増加性"という裏が隠されている。
fの狭義の単調増加とは　∀x1,x2∈Rについて(Rでなくても空でないRの部分集合でもよい)

x1<x2 ⇒　f(x1)<f(x2)

が成立すること。

(特にf(x1)≦f(x2)であれば広義の単調増加という)

では本題ではf(x)=√x (x∈I⊂R)として
f(x)は明らかに有界な区間Iであれば狭義単調増加性を保っていることは確かだろう。

それに基づいて特にIが閉集合であれば、min(x∈I)(f(x))=f(minI) (minIはIの中で一番小さい値)
が成り立つのはここで認めてもらうことにして、
J={s|s=(m^2－8m＋24)、m∈R}が閉集合をとるので
minf(J)=f(minJ)=f(8) となる。

お礼

回答ありがとうございます。私が質問文で書いたものとは違う組み合わせの合成関数での考え方ということですかね。すごく参考になりました。
すいません、2つ質問させてください。
例えば、y＝√x(x－1)の最小値を求めたいときは、x(x－1)が、x≦0、1≦xにおいて最小となるとき、√x(x－1)も最小となる、というような考え方で合っているでしょうか？
それから、y＝3乗根xなども常に単調増加ですよね？y＝x^3のグラフを横にした形になるような気がするのですが…もしそうなら、自然数乗根なら同じように考えられますよね？

回答No.5

alice_44

＞ これは今回の質問とどう関わってくるのでしょうか？

実関数 x^2－8x＋24 の最小値は、x が自然数である x=4 で現われるので、
A No.2 の論点は、今回の問題には直接影響しません。
忘れていても正解できるので、忘れがちかな？と思っただけです。

お礼

自然数以外で最小になると何かあるんですか…？
私が考えていたのは、例えば、y＝√{(x－1/2)^2＋2}の最小値を求めたいなら、(x－1/2)^2＋2はx＝1/2で最小値2をとる。√{(x－1/2)^2＋2}≧0だから、(x－1/2)^2＋2が最小となるとき√{(x－1/2)^2＋2}も最小となる。よってyはx＝1/2で最小値√2をとる。とするというものなんですが、これはものすごい間違いをしているんでしょうか…

回答No.4

noname#151558

>>そもそも定義域からはずれていて…という風に考えればよいのですよね？

違う。例えばx^2はx<0のとき狭義の単調減少になる。したがって単調増加とは考え方が逆になる。

fが狭義の単調減少であるとは

x1,x2∈Rについて

x1<x2 ⇒f(x1)>f(x2)

になること。

お礼

あ、nってx^nのnでしたか。y＝n乗根xのnかと思いました(>_<)こっちなら合っていますかね？

回答No.3

noname#151558

>>例えば、y＝√x(x－1)の最小値を求めたいときは、x(x－1)が、x≦0、1≦xにおいて最小となるとき、√x(x－1)も最小となる、というような考え方で合っているでしょうか？

合っている。

>>それから、y＝3乗根xなども常に単調増加ですよね？

そのとおりです

>>y＝x^3のグラフを横にした形になるような気がするのですが…もしそうなら、自然数乗根なら同じように考えられますよね？

そうです。

ただし、分かっていると思うが気をつけなければならないのはnが偶数のときxが負でない実数をとるときに限ってこれが成り立つので、負を含んだ場合には成り立たない。

お礼

回答ありがとうございます。
nが偶数で、根号の中身が0未満となるxがある場合は、最初のお礼でさせていただいた質問のように、そもそも定義域からはずれていて…という風に考えればよいのですよね？
何度もすいません；

回答No.2

alice_44

解答例が話を端折っている部分の内容は、
貴方の解説が正しいと思います。

変数が自然数であることに関する注意点としては…
例えば、f(n) = n(n+1) の最小値は、
n が自然数であれば、n = 1/2 とはならないので
f(0) = 0 が最小となり、
n が実数の場合とは異なります。

お礼

回答ありがとうございます。
すいません、変数が自然数の場合の話自体は理解できるのですが、これは今回の質問とどう関わってくるのでしょうか？
理解力が足りずすみません(>_<)