数II 積分の問題です

質問

ｆ(x)＝x^2ー4x＋5とする。aを実数とし、a≦x≦a＋1での関数ｆ(x)の最小値をm(a)とする。
(1)m(a)をaで表せ。
(2)放物線Ｃ：y＝ｆ(x)と3直線x＝a、x＝a＋1、y＝m(a)ー1で囲まれた部分の面積をＳ(a)とする。aがすべての実数を動くとき、Ｓ(a)の最小値を求めよ。
(1)はわかったのですが、(2)の解き方がわかりません。ちなみに解答はa＝3/2のとき最小値13/12です。どなたか教えてください。宜しくお願いします。

回答No.1

asuncion · ベストアンサー

1 ≦ a ≦ 2のとき、m(a) = 1という一定値をとることが関係しているような気がします。

このとき、
S(a) = ∫[a → a+1](x^2 - 4x + 5)dx
= [x^3/3 - 2x^2 + 5x][a → a+1]
= {(a+1)^3 - a^3}/3 - 2{(a+1)^2 - a^2} + 5(a+1-a)
= (3a^2 + 3a + 1)/3 - 2(2a + 1) + 5
= a^2 - 3a + 10/3
= (a - 3/2)^2 - 9/4 + 10/3
= (a - 3/2)^2 + 13/12

であるから、S(a)はa = 3/2のとき最小値13/12
a = 3/2は1 ≦ a ≦ 2の範囲内にあるから、解とする条件を満たしている。

1 ≦ a ≦ 2以外のとき、つまりa < 1やa > 2のときには、
S(a)を計算してみると必ず13/12よりも大きくなるのでありましょう。

お礼

ご回答ありがとうございます。できました。ご丁寧にありがとうござまいました。