面積の最大・最小について

質問

曲線y=|x^2-2x|と直線y=ax（0<a<2）によって囲まれる図形の面積の和をS（a）とする。
この条件から曲線と直線との共有点のx座標の求め方を教えてください。
できれば、この図形の面積とその最小値を教えてください。

早めの回答を希望します。

回答No.2

info22_

y=|x^2-2x| ...(1)
y=ax ...(2)

(1),(2)のグラフは添付図のようになります。
(1)のグラフの描き方はy=x^2-2x=x(x-2)のグラフで
y<0つまり0<x<2の範囲のグラフをy>0の方にx軸対称に折り返してやればいいです。書き換えれば
　x≦0,x≧2では y=x(x-2) ...(3)
　0<x<2では　y=-x(x-2) ...(4)
となります。

>曲線と直線との共有点のx座標の求め方を教えてください。

0<a<2では(1)と(2)の交点は
(4)のx=+0におけるグラフの傾きが2であることを考えれば
　原点(0,0)と
　(4)と(2)の交点Aと
　(3)と(2)の交点B
の３個となることが判ります。
交点Aは「y=-x(x-2)とy=axの交点」だから
　　-x^2+2x=ax
　　x≠0の交点なのでxで割って　-x+2=a
　 ∴x=2-a,y=a(2-a)　⇒ A(2-a,a(2-a))
交点Bは「y=x(x-2)とy=axの交点」だから
　　x^2-2x=ax
　　x≠0の交点なのでxで割って　x-2=a
　 ∴x=a+2,y=a(a+2) ⇒ B(a+2,a(a+2))

>この図形の面積とその最小値を教えてください。

(1)と(2)で囲まれた部分の面積S(a)は図の3つの部分の面積S1,S2,S3に分けてそれぞれの面積の和をとればよい。

S1は図の青色で塗り潰した部分の面積で
　S1=∫{0,2-a] (2x-x^2-ax)dx=[-x^3/3-(2-a)x^2/2]{0,2-a]
　　=-(1/6)(a^3 -6a^2 +12a-8)=(1/6)(2-a)^3
S2は図の赤色で塗り潰した部分の面積で
　S2=∫{2-a,2] (ax-(2x-x^2))dx=[x^3/3+(a-2)x^2/2]{2-a,2]
　　=(1/6)(6a^2 -a^3)=-(1/6)(a-6)a^2
S3は図の黄色で塗り潰した部分の面積で
　S3=∫{2,a+2] (ax-(x^2-2x))dx=[-x^3/3+(a+2)x^2/2]{2,a+2]
　　=(1/6)(a^3 +6a^2 +16)

S(a)=S1+S2+S3=-(1/6)a^3+3a^2-2a+4
S'(a)=-(a^2-12a+4)/2
S'(a)=0　⇒ a=6±4√2
0<a<6-4√2で　S'(a)<0　S(a)は単調減少
6-4√2<a<2で　S'(a)>0　S(a)は単調増加
a=6-4√2(=0.3431…)で極小値 64(3-2√2)/3をとる。

0<a<2でSaの増減表を書く。
増減表より
a=6-4√2(=0.3431…)の時の極小値 64(3-2√2)/3　が
S(a)の最小値であることが判る。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

alice_44

y=｜xx-2x｜ と y=ax のグラフを描いて、
状況を理解した上で、
∫[x=0～2]｛(xx-2x)-ax｝dx=0 となる a
を計算する。やってみ。(やったら、補足へ)

補足

a=-4/3となりましたが合っていますか?