積分の問題教えてください

質問

ｔは0以上1以下を満たす実数とする。放物線y＝x^2、直線x＝１、およびx軸とで囲まれた図形をA、放物線y＝4(x-t)^2と直線y＝1とで囲まれた図形をBとする。AとBの共通部分の面積をS(t)とする。
(1)S(t)を求めよ
(2)0以上1以下におけるS(t)の最大値を求めよ

どうかお願いします

回答No.1

info22_

(1)
t=1/2より小さい、大きいで場合分けする。

0≦t<1/2のとき
積分区間はy=x^2とy=4(x-t)^2の２つの交点のx座標x=2t/3,2tから
[2t/3,2t]
S(t)=∫[2t/3,2t] {x^2-4(x-t)^2}dx=(32/27)t^3
t=1/2のとき最大値S(1/2)=4/27
1/2≦t≦1のとき
積分区間はy=x^2とy=4(x-t)^2の２つの交点のx座標
x=2t/3(<1),2t(>1)から [2t/3,1]なので
S(t)=∫[2t/3,1] {x^2-4(x-t)^2}dx=(32/27)t^3-4t^2+4t-1

(2)
0≦t<1/2のときS(t)=(32/27)t^3(>0),S(t)は0≦t<1/2で単調増加関数。
t=1/2のとき最大値S(1/2)=4/27
1/2≦t≦1のとき
S(t)=(32/27)t^3-4t^2+4t-1
S'(t)=(32/9)(t-3/2)(t-3/4)
1/2≦t≦1で(t-3/2)<0。1/2≦t＜3/4でS'(t)>0,3/4<t≦1でS'(t)<0
t=3/4で極大値(最大値)S(3/4)=1/4

まとめると0≦t≦1の範囲の最大値は
t=3/4のとき　最大値S(3/4)=1/4

お礼

助かりました。ありがとうございます。
感謝感謝です。