高校数学I（最小値、絶対値）の質問です。長いです。

質問

まず問題文です。

正の定数a、bに対して、関数f（x）＝x＾２－｜aｘ＋b｜はｘ＝3/2で最小値－49/4をとる。このときa、bの値を求めよ。

以下が解答でした。

ヒント→a＞0、b＞0に注意して、必要性から攻めるとよい

a＞0であるから、ｘ≧－b/aのとき、
f（x）＝x＾２－（aｘ＋b）＝（ｘ－a/2）^2-a^2/4－ｂ

a＞0、b＞0より、－b/a＜0であるから、
f（x）がｘ＝3/2で最小値－49/4をとるためには、ｘ≧－b/aとして考えた時にも
ｘ＝3/2で最小値－49/4をとることが必要である。

よって、a/2=3/2 f(3/2)=-49/4
∴a=3, b=10
が必要である。

逆に（a,b）=(3,10)ならば、ｘ≦－b/aのとき

f（x）＝x＾２＋（aｘ＋b）=x＾2＋3x＋10=（x+3/2）^2+31/4≧31/4
となるから確かに題意はなりたつ。

“必要である”ということと、

逆に（a,b）=(3,10)ならば、ｘ≦－b/aのとき

f（x）＝x＾２＋（aｘ＋b）=x＾2＋3x＋10=（x+3/2）^2+31/4≧31/4
となるから確かに題意はなりたつ。

という部分がなにを表しているのかがよくわかりません。
長々とお読みいただきありがとうございます。
質問すら拙くてすみません。どなたか解説をお願いします。

回答No.1

tomokoich · ベストアンサー

普通絶対値のついた関数の場合
ax+b≧0の時とax+b<0の時と場合分けして考えますよね
この問題の場合a>0,b>0からまずax+b≧0の時を考えてa,bの値を出し
このa,bの値で今度は絶対値の中が負の場合逆に題意を満たすかどうかを確認しているのだと思います
絶対値の中が負の場合なので
f(x)=x^2-(-3x-10)=x^2+3x+10
でこの場合は質問者さまの解答に書かれてあるとおり最小値は31/4なので
両方の条件で最小値となるのはx=-3/2,f(x)=-49/4
ということになります

お礼

a>0,b>0からまずax+b≧0の時を考えてa,bの値を出し
このa,bの値で今度は絶対値の中が負の場合逆に題意を満たすかどうかを確認しているのだと思います

なるほど。絶対値の中身が負の場合でも最小値がx=3/2,f(x)=-49/4で変わらないことを確認しているのですね。
回答ありがとうございました！

回答No.3

alice_44

その解答例は、f(x) の x≧-b/a という範囲内での最小値が
x=3/2 での f(x)=-49/4 だという条件から、a,b の値を求めています。
x＜-b/a の範囲で更に小さい値をとらないと確認するまでは、
f(3/2) が f(x) の本当の最小値だとは言いきれませんよね？
後半は、それを確認しているのです。

お礼

すっきりしました！回答ありがとうございました！

回答No.2

tomokoich

最後から２行目のところx=3/2です。（気づかれると思いますが一応・・）すみません