サンプリング定理がわかりません

質問

サンプリング定理とそれに関わる内容についての質問です。
まず、アナログ-デジタル変換（A-D変換）について授業で教わったのですが、
　・コンピュータは０（０V）と１（Vｃｃ）しかわからない。
とプリントの最初に記載されていて、０と１ということはわかりますが、０VとVｃｃとは何なのかがわかりませんでした。

A-D変換のグラフの表していることはなんとなく理解できましたが、後に続くサンプリング定理の説明で、
　(1)サンプリング周期はA-D変換したいデータの最小周期の半分以下の値にする（ナイキスト周期）
　(2)つまり、A-D変換したいデータの最大周波数の２倍以上の値にする（ナイキスト周波数）
→周波数＝1/周期

と説明されただけで、
(1)のデータの最小周期とはどういうものなのか、なぜ半分以下の値にする必要があるのか
そして(2)が、つまりで続いている後の意味もわかりませんでした。
補足なしでいつのまにかナイキスト○○と付け足されていて困っています・・・。

また、デジタル-アナログ変換（D-A変換）で、
　入力された値＝bit数
例）０１０（２）＝２÷２（のｎ乗）＝２÷２（の３乗）＝２/８

となっており、２のｎ乗個に等分した縦軸でなぜ２を割るのかわかりません。
以上の所を教えて頂きたいと思います。よろしくお願いします。

回答No.2

tadys · ベストアンサー

Vccは電子回路の電源の事です。
Vccのｃはトランジスタのコレクタの事で、この言葉が使われたころは回路素子として（バイポーラ）トランジスタが使用されていましたのでVccと呼ばれました。
マイナスの電源を使う回路もあって、その場合はエミッタに接続されるのでVeeと呼ばれています。
最近の回路はMOS‐FETが使用される事が多くその場合はVddあるいはVssと呼ばれます。
まあ、このように回路の電源の呼び方はいろいろあるのであまりこだわる事はありません。
Vxxと出てきたら、電源の事だと覚えておけばいいです。

アナログの時代から信号のサンプリングと言うのはありましたね。
AD変換を行うには信号のサンプリングが不可欠ですが、サンプリングそのものはAD変換とは関係ありません。
サンプリング定理を理解するには次の事が重要です。
ある信号をサンプリングした時に、周波数の異なる信号が全く同じに見える事が有る、と言う事です。
具体的な例で言うと、例えば100ｋHｚで1ｋHzの信号をサンプリングしたものと99ｋHz,101ｋHzの信号をサンプリングしたものはまったく同じに見えます。
同様に49ｋHzの信号をサンプリングしたものと51ｋHzをサンプリングしたものは区別できません。
この、区別できないという事が重要なのです。
（計算してグラフ化して見れば分かります。）
1ｋHzの信号と、102ｋHzの信号が混ざったものを100ｋHzでサンプリングした信号は1ｋHzと2ｋHzの信号が混ざったものに見えます。
あるいは、101ｋHzと2ｋHzの混ざったものと解釈する事も出来ます。
このような事は紛らわしい事です。
この紛らわしさを排除するにはサンプリングする前の信号に100ｋHzの半分以上の周波数の信号が含まれていないことを保証する必要が有ります。
この事が、サンプリング定理の言わんとするところです。
以上の事から分かる事は、例えば信号の周波数範囲が100ｋHz～150ｋHzに制限されていれば100ｋHzでサンプリングしたデータから元のデータを再現できるという事です。
このように信号の周波数より低い周波数でサンプリングする事をアンダーサンプリングと呼ばれて実際に使用されています。
http://homepage3.nifty.com/kusanagi/radio/undersampling.html
http://www.yokogawa.com/jp-ymi/tm/TI/keimame/ad1/ad1_10.htm
http://www.el.gunma-u.ac.jp/~kobaweb/lecture/koba20071011rev.pdf

＞なぜ２を割るのかわかりません
この例では３ビットのDA変換の例ですね。
３ビットのデータで表す事の出来るデータは０～７の８種類です。
この例ではデータの例として０１０（２）を上げているので、ここで出た来た２を８種類の８で割っているのです。
１１１（７）であれば７を８で割るだけの事です。
８で割る必要があるかどうかは状況次第です。８で割る必要が有れば割るし必要が無ければ割りません。
なお、８は３ビットで表す事が出来ません。
０～７で０～１００％を表す為に、８ではなく７で割る場合もあります。

お礼

詳細な説明と参考URLもありがとうございました！
調べるにもどう手をつけたらいいのか悩んでいたので本当に助かりました！

補足

詳細な説明をありがとうございます。
つまり、サンプリングを行う際には周波を忠実に再現するために、
周期は変換したいデータの１/２にするということ、
周波数は変換したいデータ（元）の２倍の周波数にしないと、じっさいは元と同じ周波数を正確にサンプリングすることができず、数値に歪み（エイリアシングというものでしょうか）がでるからということでしょうか？
自分の中で簡潔にまとめてみましたがこれで大丈夫か不安なので、
お手数おかけしますがお返事をお願いいたします。

回答No.3

ymmasayan

No.1です。
１つしか答えてませんでしたね。

サンプリング＝Ｄ／Ａ変換ではないと言うのはその通りですが
サンプリングした時点でデータに時間的な離散が起こっているので
既にデジタルの領域に踏み込んでいるといえます。

なお、エイリアシングについては非常に重要ですが、
今の段階では踏み込む必要は全く無いと思います。

Ｄ／Ａ変換の話ですがＮビットでフルスケールを表すとすると
フルスケールに対する刻みの数は２^N－１となります。
従って刻みは１／(２^N)になります。

３ビットの例題は間違いのようなので少し説明します。
３ビットは　000,001,010,011,100,101,110,111の8種類です。
これは０～７ですのでフルスケールは７、データの数は８です。
従って刻みはフルスケール／７・・・・プリントの２^3＝８は恐らくミスでしょう。
実はここは誰でも非常に勘違いしやすい所なのです。

お礼

わざわざ改めてのご回答ありがとうございます！
データは８種類だがフルスケールは7でしたか！

エイリアシングについてもお話してくださったということは、No.２さんでの補足の部分を見て頂けたということでしょうか？
とりあえずまとめは大丈夫だったということですね。
授業の講師は外部の大学院生なのですが、間違いやミスプリが毎時間多発してらっしゃる方なので、休み時間内に生徒の質問に答えきれてないのが常で困ってましたが、教えて頂けて助かりました！

回答No.1

ymmasayan

このサンプリング定理には２人の人が関わっています。
最初にこうではなかろうかと言ったのがナイキストで、
それを証明したのがシャノンです。
ということでシャノンのサンプリング
定理と呼ばれることが多いです。

シャノンのサンプリング定理は送ろうとするアナログ信号の中の
最も高い周波数の２倍の回数のサンプリングをすれば
この信号を適切に処理することによって元の信号が完全に再現できる。

というものです。

例えばＣＤは耳に聞こえる音声を２０ＭＨｚとして４４．１ＭＨｚでサンプリングしています。
電話通信の中継ではディジタルを使いますが、人間の会話に必要な声は
３００～３４００Ｈｚですので約倍の８０００回のサンプリングをおこなってっています。

ＣＤも電話回線も問題を起こし弟妹のはご存知の通りです。

お礼

自分が知らなかっただけで、身近な物事でもサンプリング定理は使われていたのですね。
早速のご回答ありがとうございました！