20kHz正弦波をCDで再生するとどうなりますか

質問

デジタル音響の開発者または詳しい方への質問です。
今更ですが、CDにおける高周波成分の再現性について疑問があります。
サンプリング周波数の1/2以下の周波数しか記録・再生できないというサンプリング定理については、ある程度理解しているつもりです。
また、サンプリング周波数の1/2以上の信号をAD変換するとエリアシングが発生するということも、原理として理解しています。
疑問は44.1kHzで20kHzないしそれに近い周波数の信号をサンプリングして記録し、記録したデータをDA変換した場合、どの程度忠実に原波形が再現できるかということです。
20kHzを44.1kHzでサンプリングすると、1周期に2.205回しかサンプリングできません。サンプリングデータを直線でつないでも、原周波数成分は残るものの、正弦波とはかけ離れた波形になってしまいます。
20kHzまで聞こえる人は稀ですし、聞こえても相当減衰しているので、音楽再生では大きな問題にならないかもしれませんが、13kHzだと大抵の人は聞こえるし、感度もある程度あります。13kHzの場合、1周期のサンプル数は約3.4個になりますが、これでも正弦波とはかなり違います。
仮に、まずまず正弦波に近いと言えるのが1周期5サンプル以上だとすると、44.1kHzで正弦波として記録再生できるのは、せいぜい9kHz程度ということになってしまいますが、なにか考え違いをしているでしょうか？
あるいは、高度なデジタル信号処理技術によって、20kHzないしそれに近い周波数も正弦波に近い形で再現できるのでしょうか？
サンプリング周波数の1/2に近い高周波信号の記録・再生について図解しているサイト等があればURLをご提示いただけると幸いです。

当方、↓このようなサイトは見つけました。
http://www2.oninet.ne.jp/ts0905/deeg/deeg11.htm

回答No.3

SRLeonard · ベストアンサー

＞サンプリングデータを直線でつないでも、原周波数成分は残るものの、正弦波とはかけ離れた波形になってしまいます。

サンプリングデータを直線でつないだ波形が階段状になってしまい、滑らかなサイン波でないのは、周波数の高低を問わず共通の現象であり、質問文にある20kHz、13kHz、9kHz等の波形の見た目は単なる程度問題に過ぎません。

音声をA/D→D/A変換する過程において、A/D変換の前処理として再生帯域を越える周波数をカットするためにLPF（ローパスフィルタ）処理をしています。
しかし、理想的なLPFは実現できないため、20kHzの2倍である40kHzに対してマージンを取った44.1kHzというサンプリング周波数を使用しています。

他方、D/A変換の過程においては、「サンプリングデータを直線でつない」だ階段状の波形を滑らかなサイン波に再現するためにLPF処理をしています。

上述したD/A変換のためのLPF処理をして元のサイン波を再現することのできる限界を導くのがサンプリング定理です。

質問文にある「原周波数成分は残るものの、正弦波とはかけ離れた波形になってしまいます。」との内容のうち、原周波数成分を残せる限界がサンプリング周波数です。そして、正弦波とはかけ離れた波形に見える階段状の波形から滑らかなサイン波を再現する処理は別途行われています。

お礼

ご回答ありがとうございます。
ADの前処理にLPFでサンプリングの1/2周波数以上の成分をカットする必要があることは理解しております。
一方、DA変換後、直線で結んだ三角波に近い波形にLPFを掛けることで、滑らかな正弦波に近くなるのも感覚的ですが、理解できます。
ただ、20kHzを44.1kHzでサンプリングした場合、直線で結んだ三角波に近い波形の波高値は、見た目では1周期毎にかなり変わるように思いますが、適切なフィルタリング処理で、波高値が揃った正弦波になるのでしょうか？
きっとそうなのだと思いますが、感覚的にはまだちょっとしっくり来ていないところもあります。
いずれにしても、非常に的確なご回答だと思います。
改めて、ありがとうございました。

回答No.5

teppou

＞20kHzを44.1kHzでサンプリングすると、1周期に2.205回しかサンプリングできません。サンプリングデータを直線でつないでも、原周波数成分は残るものの、正弦波とはかけ離れた波形になってしまいます。

　正弦波とかけ離れた波形になるのは、基本波（この場合は20kHzの正弦波）と整数倍の高調波が含まれているからです。
　基本波の二倍以上の高調波をカットするローパスフィルターを通せば、基本波だけ残り20kHzの正弦波になります。
　これが理論の教えるところです。
　現実には、高調波はゼロにはなりませんが、普通のひずみ率計などでは測定できないレベルです。
　20Hzから20kHzまでの周波数の音源を録音したCDが販売されていますが、オシロスコープで見る限りキレイな正弦波が出ています。

お礼

ご回答ありがとうございます。
他の方のご回答でかなり理解が深まっているところに、

＞　20Hzから20kHzまでの周波数の音源を録音したCDが販売されていますが、オシロスコープで見る限りキレイな正弦波が出ています。

なるコメントをいただき、きちんと処理すれば綺麗な正弦波が得られるのだということが、感覚的にではありますが、はっきりしてきました。
この処理の良し悪しが、CDプレーヤの音質評価にかなり影響しているのだとも思った次第です。

回答No.4

iBook 2001（@iBook-2001）

はじめまして♪

少ないサンプリング数の高い周波数では、仰る通り、滑らかな波形では無く、かなり極端な直線で結ばれた三角波のようなイメージをされてしまうのは、当然でしょうし、私も最初はおなじように思えていた事が有ります。

AD変換でのエリアシングによる帯域制限とは別で、DA時にも帯域制限を行ない、高調波を含む三角波からその基音となるサイン波が通り抜けるようにする事で、サンプリング周波数の1/2までが、理論限界。とされています。

記憶がアイマイなのですが、、確か、故：長岡氏のCDプレーヤー測定比較記事に２０kHzの再生波形写真が出ていました。現実的には２０kHzのサイン波が得られているのですが、機種に依っては一定臭気の僅かなレベル変動が観測出来たり、本来のレベルより結構低く観測出来たり、という状況だったと記憶しています。

このあたりは、DA後のハイカットフィルタ、古い記事ですしあの当時は急峻なアナログフィルタ回路を用いた場合のケースと、多少緩やかにしておいて、カット周波数を少し低く設定している、などでおおよそ２つのパターンに成った。という事だった（と、記憶しています。）

三角波や矩形波も、基本周波数以上の高調波（倍音成分）が通らないフィルターで高域カットすると、基本周波数のサイン波が残るのです。

高性能で急峻なフィルタが、まだ難しかった時代だった事と、当時利用しやすかった水晶発振周波数からの分周もあって、余裕を持たせながら決った。というのが44.1kHzというサンプリング周波数です。

今では、DA時にかなり高いサンプリング周波数にハイサンプリング化してからデジタルフィルタでバシッと不要帯域をカットし、DA後のアナログフィルタは非常に高い周波数から、結構緩やかな特性の物で済ます事で、デジタル的に造った２０kHzのテスト信号は、正確に再生出来る。というのが高級機種なら『アタリマエ』になっています。

音の「音色」を決める。とも言われる倍音成分ですが、基音の2倍、3倍、４倍、５倍、、、、という範囲ですので、１０kHzの2倍が２０kHz、3倍が30kHz、、、という事ですから、人間の可聴限界という２０kHzではなく、１０kHz以上では、もはやそれ以上の倍音成分が感じられないので、音色感にも影響が無い。という考え方もあったようですが、人の感覚と言うのはなかなか凄い場合もあるので、近年ブームのハイレゾ音源。という考え方も出て来るのです。

波形の形で、、、という部分では、電源アダプタのインバーター方式がよくやらかしています。
カーバッテリーから通常コンセント用のAC100Vを得る。という場合、まぁよほどの事が無ければ「サイン波」ではありません。三角波、ノコギリ波、矩形波を元に、簡単なハイカットフィルタで「疑似サイン波」なんていうのが、まだ良い方でしょう、「疑似」とすら言えない出力の安物の方が圧倒的に多くて、電源から入り込んでしまった高域成分は、オーディオ／ヴィジュアル環境では「ノイズ」として現れてしまう事も少なくないのが実情です。

CD再生などのオーディオ環境では、不要帯域の不要な信号を出さないように。という事も重要ですし、必要帯域のクオリティーも高めたい。という事から、PCM方式では原理的にサンプリング周波数の1/2までは再現出来る。と言う事です、現実的には他の弊害をより減らす為には、１割くらいの余裕度を持たせた方が良くて、それ以上の事まで試しているのが９６kHzやその倍のサンプリング周波数などと言う範囲です。

まぁ、再生時のDAだけじゃなく、記録時のADでの影響も大きいので、現代のCD製作でも収録や編集時はハイレゾと呼ばれる範囲で扱うのが一般的です。

なお、PCM方式ではない、SA-CDで採用したDSD方式の場合は、在る意味でデジタル信号を簡単な受動素子を通せば、アナログ音声信号に成る。という原理があるので、当初からコピー対策などには苦心したようですよ。
（今では、手のひらに乗るデジタルレコーダーでも、DSDに対応する機器も出て来たのですが、実用化した当初は、その当時の数百万くらいのコピューターでも編集等ができない特殊なデジタル方式。なんて思われていたようです。）

繰り返しますが、AD側とDA側では、それぞれ違った影響に対する対策を行いますので、サンプリング周波数の半分までをカットする。という同じ手法の対策でも意味が違っていますので、混同されないようにして下さいネ♪

お礼

ご回答ありがとうございます。
SRLeonard さんのご回答でほぼ納得できたのですが、最後一点、正弦波には戻せても”波高値の揃った正弦波”に戻せるのかという疑問が残っておりましたが、

＞故：長岡氏のCDプレーヤー測定比較記事に２０kHzの再生波形写真が出ていました。現実的には２０kHzのサイン波が得られているのです

のコメントで補完されました。理論的に完全に理解することは難しそううなので、これで納得することにします。
欲を言えば、”２０kHzの再生波形写真”がどこかに掲載されていると、さらに納得性が高まるのですが・・

回答No.2

double_triode

かりに，デジタルの方形波を，無処理でアンプやスピーカに通したとします。方形波は非常に高い周波数成分を含んでいますから処理できず，どうせ「なまって」丸い波形で再生されます（笑）。

なお，手持ちのCD音源をスペクトル表示してみると，18kHzくらいから上を切り落としているようです。限界の22kHzまでは収録されていません。

お礼

ご回答ありがとうございます。
サンプリングしたデータを直線で結ぶのではなく、一次ホールドした場合のご回答と理解しました。
ご説明のアンプ、スピーカを通すというのは、ローパスフィルタリングを施すのとほぼ同義かと思います。方形波の波高値が一定の場合はLPF処理によりなまって正弦波に近い形状になるとは思うのですが、SRLeonard さんへのお礼コメントの欄にも書きましたように、20kHzを44.1kHzでサンプリングして一次ホルダーを付けた場合も、波高値はバラバラになるので、波高値の揃った原波形に近い波形に戻せるのかという点はまだしっくりきておりません。

回答No.1

aokii

44.1kHzで20kHzないしそれに近い周波数の信号をサンプリングして記録し、記録したデータをDA変換した場合、ある程度しか忠実には原波形が再現できません。
20kHzを44.1kHzでサンプリングすると、1周期に2.205回しかサンプリングできず、サンプリングデータを直線でつないでも、原周波数成分は残るものの、正弦波とはかけ離れた波形になってしまいます。
20kHzまで聞こえる人は稀ですし、聞こえても相当減衰しているので、音楽再生では大きな問題にならないかもしれません。13kHzだと大抵の人は聞こえるし、感度もある程度あります。13kHzの場合、1周期のサンプル数は約3.4個になりますが、これでも正弦波とはかなり違います。
仮に、まずまず正弦波に近いと言えるのが1周期5サンプル以上だとすると、44.1kHzで正弦波として記録再生できるのは、せいぜい9kHz程度ということになってしまいます。その通りです。なにも考え違いはしていません。
高度なデジタル信号処理技術によって、20kHzないしそれに近い周波数も正弦波に近い形で再現できるわけではありません。
サンプリング周波数の1/2に近い高周波信号の記録・再生について図解しているサイト　https://ednjapan.com/edn/articles/1205/21/news001.html

お礼

早速のご回答ありがとうございます。
質問文のほとんどを引用されてたので、一瞬戸惑いましたが、私の考えに誤りはないということを強調されるために、そうされたのだと解釈しました。