サンプリング定理

質問

３０Hzの正弦波をサンプリング周波数４０HzのAD変換器で離散化したとき、その出力波の見かけの周波数はどのくらいになるのか？
という問いに対して以下のように考えたのですが、正しいでしょうか？
自身があまりなくて。。

（ナイキスト周波数）　＝　（サンプリング周波数）／２　　＝　２０
よりも入力周波数が大きいので、出力波は見かけ上、入力波より低い周波数になる。
サンプリング間隔Δｔ＝　（サンプリング周期）　＝　１／２０
なので、出力波の最大周波数は　１／Δｔ　＝　２０
よって出力波の見かけ上の周波数は２０Hz

別のやり方として、y=sin xを３０周期分紙に書くなり印刷するなりして，横軸を40等分して各点の y=sin x のところに黒丸を打って
その40個の黒丸がsin x の３０周期の間に何周期あるようにみえるか数える→実際にためすと１０Ｈｚ

という２つのやり方を考えたのですが、どちらも正しい気がしてならないです。

回答No.1

chirubou

「
（ナイキスト周波数）　＝　（サンプリング周波数）／２　　＝　２０
よりも入力周波数が大きいので、出力波は見かけ上、入力波より低い周波数になる。
サンプリング間隔Δｔ＝　（サンプリング周期）　＝　１／２０」

までは OK ですが、ここから先が間違っています。

「出力波の最大周波数は　１／Δｔ　＝　２０
よって出力波の見かけ上の周波数は２０Hz」

というのが正しいとすると、20Hz より高い周波数の正弦波をサンプリングすると皆20Hzとなってしまいます。

実は、実験された通り（素晴しいです！）、10Hz が正しいのです。

すこし奇妙に思えるかも知れませんが、ナイキスト周波数を超えると、そこで折り返しが起き、例えば、25Hzを40Hzでサンプリングすると 5Hzが、35Hzをサンプリングすると15Hzが、さらに55Hzだともう一回折り返しが起きて、15Hz が観測されます。

横軸を周波数とするスペクトルを横長の図に書いたとすると、ナイキスト周波数でを超えた分は左に、周波数ゼロを右に、と繰り返し折り畳むようなイメージです。

詳しくは Wikipedia（参照 URL）をご覧ください。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/折り返し雑音

お礼

本当に大変参考になりました！
やはり実際に実験するのが一番の近道だったりするのですね！
ありがとうございました☆