DFTのナイキスト周波数成分について

質問

はじめまして．
現在，デジタル信号処理について勉強している者ですが
サンプリング定理について手持ちの書籍では
あやふやな記述となっており，
理解に苦しむ箇所があるので質問させていただきます．

偶数のデータ点数を持つ実数信号を離散フーリエ変換したとき，
ちょうどナイキスト周波数成分の
複素フーリエ係数は，必ず実数となります．

変換前の信号がこの周波数成分までしか含まないのであれば
エリアシングは起きていないという認識で間違いないと思うのですが，
このナイキスト周波数成分については，正確な振幅と位相の情報が
失われているように思えてなりません．

この辺の分野に詳しい方，よろしくお願い致します．

回答No.2

foobar · ベストアンサー

離散時間のデータでただしく記録/再現できるのは、「ナイキスト周波数『未満』」の周波数成分だったかと。
たとえば、10kHzのサンプリングで5kHzの正弦波をサンプリングしたときに、データが 0,0,0,..だった場合、
・正弦波の振幅が0だった
・サンプリングがちょうど正弦波のゼロクロスを拾った
の二通りが考えられて、両者の区別はつかないですよね。
(振幅と位相が独立した情報としては記録されていない)

理屈としては、
信号の上限周波数fm、ナイキスト周波数fnとすると、サンプリングされたデータから元の信号を再現するためには、1/(fn-fm)の時間に相当する長さのデータが必要（通過帯域fmでfn以上の成分を充分落とすLPFを作るには、これだけの次数のLPFが必要）でfn=fmの場合には無限長のデータが必要になる、
というのに相当するかと。

お礼

偶数点のデータの周波数解析(DFT)においては
ナイキスト周波数の１つ前の次数成分までが意味を持つ値であり，
ナイキスト周波数成分については
LPF(ゼロにする)以外のフィルタ処理はできないということですね．
やっと合点がいきました．ありがとうございました．

回答No.3

nrb

5Hzの正弦波信号を10Hzでサンプルした離散時間信号
⇒振幅と位相が正確でない．
　　（入力信号とサンプリングの位相関係によって見え方が違う．）

その通りですよ　位相は波形が

ω＋１５度
ω＋３０度

でサンプリングが９０度位置だとすると

確かに波形は再現できるが・・・
位相は再現されません

http://www.shonan.ne.jp/%7Ehiro-s/pages/MSP_doc/digiaudio_03.html

ナイキストの定理では位相については無いく
周波数が再現できるってことです

振幅はほぼ再現されます（フィルターを掛ける事により）
直流を基準に考えると（０を基準に取ると）、振幅はほぼ再現されないが
交流で見ると再現されます

図描けば判るんだけどな・・・・
一発で・・・
文字はつらい・・・・

フィルター掛けると面白い結果が・・・・・

ω＋１５度
ω＋３０度
でサンプリングが９０度位置だとすると

位相が変わった同じ波形がでるよね
上下同じ対象になるんだようね

ここが・・・ちと判り憎い所ですが・・・・

位相差の誤差を少なくするには、サンプリング周波数を上げれば誤差が少なくなります

特殊な圧縮方法では
位相差の誤差が大きくなる所ではオーバーサンプリングをする物もあります

お礼

現実問題として，実際のADCの収録データが，
無視できないほどの大きさのナイキスト周波数成分を持つ時には，
ほぼ間違いなくエリアシングが起きており，
サンプリングの条件としては良くないということでしょう．
やはり，アンチエリアシングフィルタやオーバーサンプリングにより
ナイキスト帯域には余裕を持たせるべきですね．
ありがとうございました．

回答No.1

nrb

正確な振幅と位相の情報が
失われているように思えてなりません．

当たり前です

デジタル処理を段階で・・・元のアナログ波形には戻せません

当然サンプリング周波数と分解ビット数を上げると
元の波形には近くなるが
どんなに上げようがD／A変換では元に戻らない

当然サンプリング周波数と分解ビット数を上げる程

元のアナログ波形に近くなる

基本中の基本

それ以前の問題ですが・・・

補足

回答ありがとうございます．

補足しておきますと
たとえば，量子化誤差は考えず，標本化のみについて考えます．
1Hzの正弦波信号を10Hzでサンプルした時間離散信号
⇒正確な振幅と位相の情報あり
5Hzの正弦波信号を10Hzでサンプルした離散時間信号
⇒振幅と位相が正確でない．
　　（入力信号とサンプリングの位相関係によって見え方が違う．）

実は，
離散信号をある伝達関数Hのデジタルフィルタに通すとき，
このナイキスト周波数成分はどうするべきか悩んでいます．
この成分をゼロにしてしまうと，デジタルLPFをかけたことになってしまいます．