sinx^2+cos^2x=1は微分できますか

質問

x^2+y~2=1を微分して2x+2ydy/dx=oとして導関数がdy/dx=-x/yとなるのでしょうか。また表題の公式も微分の対象になるのでしょうか。

回答No.3

noname#63284 · ベストアンサー

＞x^2+y~2=1を微分して2x+2ydy/dx=oとして導関数がdy/dx=-x/yとなるのでしょうか。

yをxの関数として、x^2 + y(x)^2 = 1 がある範囲の実数xについて成り立っているという仮定ですよね。なら微分して、それで良いです。できない理由はないと思うのだけどなぜ？

＞sinx^2+cos^2x=1は微分できますか

微分できますよ。
正しくは、sin^2(x) + cos^2(x) = 1 ですよね。
微分しても定数なので、0 になるだけですが。

逆に、(x-2)(x-3)=0 みたいな式は微分できません。
この式はある特定の2つのxの値（2と3）についてしか成り立たないので、微分できないです。
微分は、df(x)/dx = lim_{h→0} [f(x+h)-f(x)]/h
で定義されているので、f(x)のxを小さく変化させても式が成り立ってないと、適用できないですよね～。
無理に微分しちゃうと、2x-5=0 になって、「常にx=5/2」という間違った結果になります。

一方、sin^2(x) + cos^2(x) = 1 は、右辺が定数だけど、xを微小に変化させて、x+h としても成り立っているので、微分しようと思えばしても良いわけです。

ちょっとやってみると、
[sin^2(x+h) + cos^2(x+h)] - [sin^2(x) + cos^2(x)] = 1 - 1 = 0
が成り立つわけで、左辺を組み替えて h で割れば、
[sin^2(x+h) - sin^2(x)]/h + [cos^2(x+h) - cos^2(x)]/h = 0
ちゃちゃっと計算して、h→0の極限をとれば、
2 sin(x)cos(x) - 2 sin(x)cos(x) = 0
という成り立つべくして成り立つ式が得られるというわけ。

ということで、xを少しずらしてもそのイコールが成り立っているのかどうかが、ポイントです。成り立ってるなら、微分できます。

お礼

ご丁寧にご教示いただいてありがとうございます。式にｘしか出てこないので微分が適用できるのかどうかわからなかったのですが、最後のところのポイントをうかがい納得できました。

回答No.4

nettiw

kaitara様お久し振りです。
最近、投稿数が減って寂しく思っていました。
（表面的な）回答は後に回し、感想が先になります。
正直、動揺しています。

(cosT)^2+(sinT)^2=1 と　x^2+y^2=1 は、
共に原点Ｏ(0,0)を中心とした半径１の円を意味するので、
’同値’と思い込んでいました。
しかし、"(cosT)^2+(sinT)^2=1を微分する"という発想に、
遭遇して、’同値ではない’のかという疑念が生じました。
投稿を読んで２４時間過ぎましたが、
いまだに結論は判りません。

（１）　’同値である’を主張しようとすれば、
"(cosT)^2+(sinT)^2=1を微分する"　際に
x=cosT, y=sinT と　parameter表示し、
共にTで微分し、dy/dxを求めると、
(dx/dT)=(-sinT), (dy/dT)=(cosT)
dy/dx=(dy/dT)/(dx/dT)=(cosT)/(-sinT)=-1/tanT
dy/dx=(dy/dT)/(dx/dT)=x/(-y)=-x/y・・・(y≠0)
これでは、話が循環していて・・・。
尚、円周上の点(x0,y0)における接線の傾き(-x0/y0)を使い、
y-y0=(-x0/y0)(x-x0)
y0(y-y0)=-x0(x-x0)
x0・x+y0・y=(x0)^2+(y0)^2
x0・x+y0・y=1 と接線の方程式に・・・。

（２）楕円,((x^2)/(a^2))+((y^2)/(b^2))=1
　　楕円,x=a・cosT, y=b・sinT
そのまま代入すれば、
((a・cosT^2)/(a^2))+((b・sinT^2)/(b^2))=1
(cosT)^2+(sinT)^2=1 となり、
(cosT)^2+(sinT)^2=1 は楕円も意味するのか。
そうではなく、
恒等式　(cosT)^2+(sinT)^2=1　は、
円関数（三角関数）の相互関係で、
直接、円/楕円/etc. を意味する訳ではないと。
”同値である/同値でない”は無関係の事に思えてきます。
デカルトによる、幾何と代数の結婚は、
（具象化された）幾何と（抽象化された）代数の情事なのか。
cosx=(e^ix+e^-ix)/2
sinx=(e^ix-e^-ix)/2i
(cosx)^2=(e^2ix+2+e^-2ix)/4
(sinx)^2=-(e^2ix-2+e^-2ix)/4
(cosx)^2+(sinx)^2=1 という計算結果にすぎないのでしょうか。

（３）恒等式　(cosT)^2+(sinT)^2=1　は、
両辺をTで微分して、0=0 になるのは自明だからこそ、
>>表題の公式も微分の対象になるのでしょうか。
と書いてあるのでしょう。
”できる事”と”意味がある”とは別の事と、
ある数学者のフレーズを見たような気がします。
計算は既に他の方々が・・・。
良く似た式で、（厳密にはチョット傷がありますが。）
((1-t^2)/(1+t^2))^2+(2t/(1+t^2))^2=1
というのありますが、
両辺をtで微分して、(微分していませんが。）
同じ結果になるはずです。

（４）
またまた、勉強にさせて頂きました。感謝致します。
次回も楽しみにしています。

お礼

勉強してみたいと思っています。ご丁寧なご教示を感謝いたします。

回答No.2

info22

> x^2+y~2=1を微分して2x+2ydy/dx=oとして導関数がdy/dx=-x/yとなるのでしょうか。
そうなります。

> (sin(x))^2+(cos(x))^2=1
も微分できますが、微分しても
2sin(x)cos(x)-2cos(x)sin(x)=0
となって両辺とも0で何の面白みも無いですね。

お礼

どうもありがとうございます。導関数を代数のような感じで扱えるのは不思議だと思いました。

回答No.1

Tacosan

等式の両辺を微分しても等式は成り立ちます (実際にはいろいろと条件がありますが). だから x^2 + y^2 = r^2 を x で微分すると 2x + 2y dy/dx = 0 から dy/dx = -x/y が得られるんです.
ということで sin^2 x + cos^2 x = 1 を微分してもいいんですが... 面白い結果にはなりませんね.

お礼

どうもありがとうございます。sinxをx、cosxをyとおいて
ｄsinx/dcosx=-cosx/sinxとできれば何か新しいことが見えるかと思いました。