にゃんこ先生の自作問題、3つの無理数の和と積が無理数か有理数かにおいて、すべての可能性がありうるか？

質問

にゃんこ先生といいます。

2つの有理数a,bがあるとき、その和と積は閉じています。
2つの無理数a,bがあるとき、その和と積は閉じていないですが、次のようにすべての可能性の例があることを調べました。
a+b=有、a*b=有、の例：a=√2、b=-√2
a+b=有、a*b=無、の例：a=√2、b=1-√2
a+b=無、a*b=有、の例：a=√2、b=√2
a+b=無、a*b=無、の例：a=√2、b=√3

では、3つの無理数a,b,cがあるとき、その和a+b+cと、積abcと、ここで仮に積和と呼ぶab+bc+caと、ここで仮に和積と呼ぶ(a+b)(b+c)(c+a)が、有理数か無理数かにおいて、すべての可能性はあるのでしょうか？

和と積と積和と和積がそれぞれ有理数か無理数かにおいては、2^4=16通りの可能性がありますが、すべての可能性の例はあるのでしょうか？それともありえないパターンはあるのでしょうか？

回答No.4

Tacosan · ベストアンサー

abc ∈ Q のときは解が有理数かどうか簡単にわかることがあります.
特に x^3 + αx^2 + βx + 1 = 0 で α, βの一方が有理数で他方が無理数のときには有理数解は持てませんし, 両方とも整数の場合には x = ±1 以外の有理数解を持ちません.
だから, このときには「2次の無理数の和」に限定する必要はありません.

回答No.3

Tacosan

3つの基本対称式でいいなら, 解と係数の関係から 3次方程式の解に関する議論に転換でき, 結論としては「全ての可能性がある」となると思います＞#2.

お礼

問題をできるだけ一般的に、かつ、できるだけ単純にという方向で考え直してみました。

a,b,c,a+b+c,ab+bc+ca,abcが有理数か無理数かである全パターンで、ありうるものは実例を述べ、ありえないものは証明せよ。
また、有理数は0でないものとしたほうが好ましい。
なぜなら、(無理数)*(0でない有理数)=(無理数)となり、0は特別だから。
また、無理数は2次の無理数の和として表せるもののほうが好ましい。
なぜなら、例えばπ+eは無理数かどうかは証明されていないし、3次方程式の解の公式のように書かれた数が有理数か無理数かを判別するのは困難だから。

とりあえず、
a=無,b=無,c=無,a+b+c=無,ab+bc+ca=無,abc=無の例：
a=√2,b=√2,c=√3,a+b+c=2√2+√3,ab+bc+ca=2+√6,abc=2√3

a=無,b=無,c=無,a+b+c=無,ab+bc+ca=無,abc=有の例：
a=√2,b=√3,c=√6,a+b+c=√2+√3+√6,ab+bc+ca=3√2+2√3+√6,abc=6

a=無,b=無,c=無,a+b+c=無,ab+bc+ca=有,abc=無の例：
a=√2,b=√2,c=√2,a+b+c=3√2,ab+bc+ca=6,abc=2√2

a=無,b=無,c=無,a+b+c=無,ab+bc+ca=有,abc=有の例：
a,b,cをx^3+(無)x^2+(有)x+(有)=0の3実数解となるように調整すれば例が見つかる気がしますが、すべてが2次の無理数の和として表せるような例が取れるかどうかは不明です。

a=無,b=無,c=無,a+b+c=有,ab+bc+ca=無,abc=無の例：
a=√2,b=√2,c=1-√2,a+b+c=1,ab+bc+ca=-6+√2,abc=2-√2

a=無,b=無,c=無,a+b+c=有,ab+bc+ca=無,abc=有の例：
a,b,cをx^3+(有)x^2+(無)x+(有)=0の3実数解となるように調整すれば例が見つかる気がしますが、すべてが2次の無理数の和として表せるような例が取れるかどうかは不明です。

a=無,b=無,c=無,a+b+c=有,ab+bc+ca=有,abc=無の例：
a=3+√2,b=2√2,c=1-3√2,a+b+c=4,ab+bc+ca=-11,abc=-32-6√2
(この例を見つけるのが少し時間かかった)

a=無,b=無,c=無,a+b+c=有,ab+bc+ca=有,abc=有の例：
a,b,cをx^3+(有)x^2+(有)x+(有)=0の3実数解となるように調整すれば例が見つかりますが、すべてが2次の無理数の和として表せるような例はないことがわかります。

回答No.2

rabbit_cat

＞(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc
ていう式があるんだから、
つまり、
a+b+c、ab+bc+ca、abc
が３つそれぞれ独立に有理数・無理数になりえるか、っていうんがつまり問題なんだろうけど、考えるのが面倒。
なんとなく、全ての可能性がありえると思うけど。

というか、そもそも２変数→ｎ変数への問題の一般化の時点で、
（無理数の）ｎ変数の基本対称式（ｎ個）は、それぞれ独立に有理数・無理数になりえるか、
ていうふうに拡張するべきだったんじゃないですかね。

お礼

問題をできるだけ一般的に、かつ、できるだけ単純にという方向で考え直してみました。

a,b,c,a+b+c,ab+bc+ca,abcが有理数か無理数かである全パターンで、ありうるものは実例を述べ、ありえないものは証明せよ。
また、有理数は0でないものとしたほうが好ましい。
なぜなら、(無理数)*(0でない有理数)=(無理数)となり、0は特別だから。
また、無理数は2次の無理数の和として表せるもののほうが好ましい。
なぜなら、例えばπ+eは無理数かどうかは証明されていないし、3次方程式の解の公式のように書かれた数が有理数か無理数かを判別するのは困難だから。

とりあえず、
a=無,b=無,c=無,a+b+c=無,ab+bc+ca=無,abc=無の例：
a=√2,b=√2,c=√3,a+b+c=2√2+√3,ab+bc+ca=2+√6,abc=2√3

a=無,b=無,c=無,a+b+c=無,ab+bc+ca=無,abc=有の例：
a=√2,b=√3,c=√6,a+b+c=√2+√3+√6,ab+bc+ca=3√2+2√3+√6,abc=6

a=無,b=無,c=無,a+b+c=無,ab+bc+ca=有,abc=無の例：
a=√2,b=√2,c=√2,a+b+c=3√2,ab+bc+ca=6,abc=2√2

a=無,b=無,c=無,a+b+c=無,ab+bc+ca=有,abc=有の例：
a,b,cをx^3+(無)x^2+(有)x+(有)=0の3実数解となるように調整すれば例が見つかる気がしますが、すべてが2次の無理数の和として表せるような例が取れるかどうかは不明です。

a=無,b=無,c=無,a+b+c=有,ab+bc+ca=無,abc=無の例：
a=√2,b=√2,c=1-√2,a+b+c=1,ab+bc+ca=-6+√2,abc=2-√2

a=無,b=無,c=無,a+b+c=有,ab+bc+ca=無,abc=有の例：
a,b,cをx^3+(有)x^2+(無)x+(有)=0の3実数解となるように調整すれば例が見つかる気がしますが、すべてが2次の無理数の和として表せるような例が取れるかどうかは不明です。

a=無,b=無,c=無,a+b+c=有,ab+bc+ca=有,abc=無の例：
a=3+√2,b=2√2,c=1-3√2,a+b+c=4,ab+bc+ca=-11,abc=-32-6√2
(この例を見つけるのが少し時間かかった)

a=無,b=無,c=無,a+b+c=有,ab+bc+ca=有,abc=有の例：
a,b,cをx^3+(有)x^2+(有)x+(有)=0の3実数解となるように調整すれば例が見つかりますが、すべてが2次の無理数の和として表せるような例はないことがわかります。

回答No.1

Tacosan

和, 積, 「積和」が有理数なら「和積」は必ず有理数.

お礼

ありがとうございます。
対称式の性質により、
(a+b)(b+c)(c+a)=x(a+b+c)^3+y(a+b+c)(ab+bc+ca)+zabc
により、x,y,zを求めると、
(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc

和, 積, 「積和」が有理数なら「和積」は必ず有理数
つまり、3つの無理数a,b,cがあるとき、
a+b+c=有、abc=有、ab+bc+ca=有、(a+b)(b+c)(c+a)=無、の例はない

同様に、
和, 「積和」, 「和積」が有理数なら積は必ず有理数
つまり、3つの無理数a,b,cがあるとき、
a+b+c=有、abc=無、ab+bc+ca=有、(a+b)(b+c)(c+a)=有、の例はない

でも、
和, 積, 「和積」が有理数なら「積和」は必ず有理数
というのはいえなそうです。なぜなら、
(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc
において、和が0であれば、和積が有理数か無理数かについてはなにもいえないからです。

それ以外のパターンについてはどうなのでしょうか？