単振動の一般解に初期条件を代入する方法

質問

単振動のxはa cos(ωt+φ)で、
展開すると
x=a cos(ωt)cosφ-a sin(ωt)sinφ

更に
acosφ=A
-asinφ=B
と置くと
x=Acos(ωt)+Bsin(ωt)
になり
微分すると
v=-Aωsin(ωt)+Bωcos(ωt)
となります。

これに関して3つほど教えていただきたいのですが
初期条件x=a,v=0が与えられたとしたらどう代入すればよいのでしょうか？
途中でAやBなど任意定数に置き換えたのはは何故なのでしょうか？
今回はxをa cos(ωt+φ)で始めましたがa sin(ωt+φ)と書いてある類題があります。
どう使い分けるのでしょうか？

なお手元の資料ではωの部分は√(k/mになっています。
よろしくお願いします。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

>初期条件x=a,v=0が与えられたとしたらどう代入すればよいのでしょうか？
>途中でAやBなど任意定数に置き換えたのはは何故なのでしょうか？

今回の初期条件ではあまりありがたみがわかない置換えですが、これが初期条件がx(0)=x0,v(0)=v0と書かれているとこの置換えのありがたみがわかると思います。

x,vをA,Bであらわした式にt=0を代入すると
x0=A
v0=Bω
と非常にわかりやすい式になります。A,Bに置き換えるとそれぞれがt=0での位置と速度/角速度を表しているのです。初期条件がt=0での位置と速度で与えられている場合はこの形で表していたほうが便利です。

>今回はxをa cos(ωt+φ)で始めましたがa sin(ωt+φ)と書いてある類題があります。
>どう使い分けるのでしょうか？

そのときの気分。所詮φの値が±π/2ずれただけの表記に過ぎません。

お礼

お早い回答ありがとうございます。
大変お恥ずかしいことにt=0の代入を忘れておりました
教えていただけかなければずっと悩んでいたと思います。
a sin(ωt+φ)は同じ問題を両方解いてみたところどちらも最終的な答えは同じになりました。
おかげさまですっきりいたしました。
本当にありがとうございました。