この関数は積分できますか？

質問

こんにちは。
いろいろ参考書とか調べたのですが載ってなかったので困っています。

インテグラル　√（１+ｔ＾２）ｄｔ　です。

積分できるかどうかもわからなくて。。。
よろしくお願いします。（途中過程もお願いします。）

回答No.4

hrsmmhr · ベストアンサー

ごめんなさい側面積の求め方はあなたのほうが正しかったです
あなたの本来の問題の変数xをXと大文字にしますと
0<=X<=πは0<=sinX<=1で（恐らく0<=X<=π/2とπ/2<=X<=πと分けて計算する必要があるかと思いますが）
0<=tanx<=1から0<=x<=π/4で0<=s=sinx<=√2/2<1で私の積分の解の式で計算はできますので
あの積分が正しければ0<=X<=πの計算はできるはずです

お礼

長々とつき合って下さってありがとうございました。
感謝の気持ちとしてベストアンサーにさせていただきます。
またよろしくです。

補足

そうですか！あんなに長い式になるとは思いませんでした。。。
でも、こんなの積分できるのかな～？と思っていたので、ちょっと感動しました。
答は出たのですが、２回くらい置換したので、ちょっと自信がないです。
－４π＋４√２π＋２πlog（３－２√２）になりました。。。

回答No.5

Ae610

∫√(1+t^2)dt
= t√(1+t^2) - ∫{t^2/√(1+t^2)}dt・・・部分積分

∫{t^2/√(1+t^2)}dt
= ∫√(1+t^2)dt - ∫{1/√(1+t^2)}dt・・・被積分関数の変形

∫√(1+t^2)dt = I ・・・とおくと
I = t√(1+t^2) - I + ∫{1/√(1+t^2)}dt
∴2I = t√(1+t^2) + ∫{1/√(1+t^2)}dt = t√(1+t^2) + log|t+√(1+t^2)|
∴I = 1/2・｛t√(1+t^2) + log|t+√(1+t^2)|｝+ C (C：積分常数)

お礼

お返事遅れてすみません。。。
どうやらこの答であっていたみたいです！
おふたりにベストアンサーを差し上げたいのですが。
かなり早くレスポンス頂いたので、先の方にしました。。。

またお世話になりましたらどうぞよろしくお願いします！

補足

ああ！部分積分でできるとはー！
すごい。。。
計算しましたら、２√２π＋２πlog（１＋√２）になりました。
前の結果と違う。。。
計算ミスかな？
もういっぺんやってみます！

回答No.3

hrsmmhr

その部分（s=tan(arcsin(t))）も間違ってました。
s=sin(arctan(t))です
arctan(t)はtanの逆関数です。
この記号を使わなくてもsは出せます
t^2=s^2/(1-s^2)ですのでs=√{t^2/1+t^2}です

ご質問の回転体の側面積ですが
S=∫2πrdr
と覚えてますy=f(x)なら半径がyなのでr=f(x) dr=f'(r)dx
となり
S=2π∫f(x)f'(x)dxじゃないでしょうか
ご指摘の式はy=f(x)の(a,f(a))から(b,f(b))までの函数の線の長さ
（2πは入りませんが）を計算する式ですの側面積にはなりません
y=sinxのとき
S=2π∫sinxcosxdxですので
=πsin^2xになると思います

補足

たびたびすみません。
S＝πsin＾２ｘならば、０からπのときなので、値が０になりませんでしょうか？
函数の線の長さについてですが、
私が書いた式の、∫a～ｂのあとのｆ（ｘ）がぬけたらそうなると思いますが、
回転体の半径がｆ（ｘ）なので、直径の２πｆ（ｘ）をかけて、側面積が出ると思うのですがどうでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.2

hrsmmhr

最後の-1/2log(1-s)は+1/2log(1-s)でした

補足

いろいろとありがとうございます！
悲しいことに高校範囲しかわからないので、arcsin？？
なのですが、高校生には無理ですか？
ちなみに元の問題としては、（すみません、面倒なことで、）
参考書に、
〔回転体の側面積〕
として
S＝２π∫a～ｂｆ（ｘ）√１＋（ｆ’（ｘ）＾２）ｄｘ
と書いてあったので、
練習問題としてｙ＝sinXを０～πでX軸の周りに一回転させた回転体の側面積を求めよ。
という問題があって、ｙ＝sinx√１＋cosx＾２をやってみたところ、質問の式
になったのですが、どこが悪いのでしょう？そもそも答えが何で、どういった
過程でそうなるのかもまったくわかりません。。。
すみませんが教えていただけないでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.1

hrsmmhr

t=tanxとおく
dt=cos^(-2)xdx
∫√(1+t^2)dt
=∫√(1+tan^2x)cos^(-2)xdx
=∫cos^(-3)xdx
=∫(cos^(-4)xcosxdx
=∫(1-sin^2x)^(-2)cosxdx
s=sinx ds=cosxdx
=∫(1-s^2)^(-2)ds
=∫(1+s)^(-2)(1-s)^(-2)ds
=1/2∫(1+s)^(-2)ds+1/2∫(1-s)^(-2)ds-∫(1+s)^(-2)(1-s)^(-2)s^2ds
=-1/2(1+s)^(-1)+1/2(1-s)^(-1)-∫(s/1-s^2)^2ds

∫{(s/(1-s^2)}^2ds=∫[1/2{-(1+s)^(-1)+(1-s)^(-1)}]^2ds
=-1/2∫(1+s)^(-2)ds+1/2∫(1-s)^(-2)ds+∫(1-s^2)^(-1)ds
=1/2(1+s)^(-1)+1/2(1-s)^(-1)+1/2∫{(1+s)^(-1)+(1-s)^(-1)}ds
=1/2(1+s)^(-1)+1/2(1-s)^(-1)+1/2log(1+s)-1/2log(1-s)

よって
∫√(1+t^2)dt＝-(1+s)^(-1)-1/2log(1+s)-1/2log(1-s)
ただしs=tan(arcsin(t))

計算違いしてたらすみません