力学（調和振動子）の問題です

質問

大学で出された問題です
「質量ｍの質点がポテンシャルU(x)＝cx/(x^2＋a^2) (c.a:定数) のもとで
一次元運動をしている時、

１）安定な平衡点を求め、その近傍における微小運動の周期を求めよ。

２）質点が初速度Voで安定平衡点から運動するとき、(1)振動する条件、(2)－∞に行く条件、(3)＋∞に行く条件、を求めよ」

という問題が出されたのですが、私の大学では解法を習う前に演習の授業がはいるので手も足も出ず困っています。
安定平衡点、ポテンシャル等用語はわかるのですが相互関係がわかりません。
そのあたりの解説と解法をよろしくおねがいします。

回答No.2

yokkun831 · ベストアンサー

１）

力は，ポテンシャルの低い方を向くので，安定な平衡点ではポテンシャルが極小となります。

dU/dx = c(a^2-x^2)/(x^2+a^2)

(i) c>0のとき　x = -|a|
(ii) c<0のとき　x = |a|

が安定な平衡点。

a，cの符号に関らず，対称性により微小振動の周期は変わらないので，簡単のためa>0，c<0とします。

x = a + y　とおいて，yについて２次までとると

U = c(a+y)/{ (a+y)^2 + a^2 }
　≒ c/(2a) - c/(4a^3)×y^2

定数は無視して，U=ky^2/2と比較して，k = -c/(2a^3)　（a>0，c<0）
したがって，微小振動の周期は，

T = 2π√(m/k) = 2π√|2ma^3/c|

となるかと思います。

２）

エネルギー保存によって判断します。極大方向への運動では，極大点をこえれば無限遠に至ります。ただし，a，cの符号に注意。グラフはa>0，c<0の場合です。なお，U(±∞)=0です。

お礼

グラフ付の丁寧な説明ありがとうございます。
これで理解がまた深められます。
助かりました。

回答No.1

hitokotonusi

１） まずU(x)を微分して0と置くことで極小点を求める（極大は除外）。これが安定平衡点。
次のこの安定平衡点のまわりでテーラー展開して２次まで取ると調和振動ポテンシャルと同じ形になるので、
イカ、調和振動と同様に取り扱えばよいでゲソ

2) ポテンシャルの全体の形を書き、いろいろな高さの水平線を書き入れる。
この水平線の高さは力学的エネルギーを表す。
力学的エネルギーはポテンシャルより必ず大きいか等しくないといけないので、
この条件にあうところだけを運動することができる。

振動するという事は、両側がポテンシャルの壁で遮られている場合。

-∞に行くということはマイナスの初速度を持っていてマイナス側に壁がない、
もしくは、プラスの初速度を持っていて、プラス側に壁がありマイナス側に壁がない場合。

＋∞はその逆。

お礼

なるほど
限られた運動の位置の条件を考えればよいのですね
たすかります。