力学の問題で困っています。

質問

以下の問題の解答で理解できないところがあり、困っています。どなたか教えてくださいませんか。
問題文は以下の通りです。

図1に書かれているポテンシャルエネルギーU(x)の下での質量mの質点の１次元（ｘ軸方向）の運動について考える。ここで、U(x)や、そのｘによる1階導関数U'(x)や２階導関数U''（x）は、ｘの連続関数であるとする。図1のように、U（x）は、ｘ〈aおよびｂ〈xにおいて単調減少、a<x<bにおいて単調増加であり、ｘ→±∞においてU（x）→∓∞である（複号同順）。以下の設問（1），（2）に答えよ。

（1）図のｘ＝ｃの位置（ただし、a<ｃ<b）において、初速度v₀で質点が運動を始めたとする。その後どのような運動をするかについて、v₀の値により場合分けして述べよ（力学的エネルギー保存則を用いて考察すること）。
（2）位置ｘ＝a＋ε（ただし、εは微小量）において、質点が初期に静止した状態から運動を始めたときに、質点は単振動をした。単振動の周期を求めよ。

(1)は理解できました。わからないのは(2)の方です。
解答には以下の通りにありました。

『(2)Uをa点のまわりでテイラー展開すると、
１次がないので、３次以下を無視すると
U=U(a)+(1/2)k(x-a)^2
とおくことができる。
(dU/dx)=k(x-a)
運動方程式は
m((d/dt)^2)x=-(dU/dx)
m((d/dt)^2)x=-k(x-a)
m((d/dt)^2)(x-a)=-k(x-a)
((d/dt)^2)(x-a)=-ω^2(x-a).....ただしω=√(k/m)
(x-a)=Asin(ωt+φ)................単振動
周期T=2π/ω=2π/√(k/m)=2π√(m/k)
[答]2π√(m/k) ただし、k=(((d/dx)^2)U)[x=a]』

質問(1)
『Uをa点のまわりでテイラー展開すると、
１次がないので、３次以下を無視すると
U=U(a)+(1/2)k(x-a)^2
とおくことができる。』
まず、ここの言っていることがさっぱりわかりません。わかりやすく解説していただけませんか。

質問(2)
『(dU/dx)=k(x-a)
運動方程式は
m((d/dt)^2)x=-(dU/dx)
m((d/dt)^2)x=-k(x-a)
m((d/dt)^2)(x-a)=-k(x-a)
((d/dt)^2)(x-a)=-ω^2(x-a).....ただしω=√(k/m)
(x-a)=Asin(ωt+φ)................単振動
周期T=2π/ω=2π/√(k/m)=2π√(m/k)
[答]2π√(m/k) ただし、k=(((d/dx)^2)U)[x=a]』
この部分は一体何をしているのでしょうか？
質問が多いですが、答えていただけると助かります。
よろしくお願いいたします。

回答No.2

superkamecha · ベストアンサー

こんばんは。　ＡＮｏ．１です。

補足に対する回答です。
ここでのテーラー展開はｘ＝ａのまわりの展開、つまり（ｘ－ａ）＾ｎ　の形に展開しているわけですが、これの１階微分で定数になるのは１次の項だけなんです。
２次以上の項は全て、微分しても（ｘ－ａ）を含みますから、自動的にｘ＝ａにてゼロになってしまうんです。
逆に言うと、「”極値である”ということが示すのは、”１次の項の係数がゼロである”ということだけである」　なんです。

ゆえ、３次以上の高次の項についても、実は”無視してよい”という保証はどこにもなくて、暗黙のうちに”微小項”として扱っているだけなんですね。

お礼

わかりやすい説明をありがとうございました！

回答No.1

superkamecha

こんにちは。
質問（１）・・・これは、ｘ＝ａの点が極大（小）点である、ということを言っているんです。テーラー展開に１次の項が有ると、１階微分に定数が残るから、ゼロ（極値）にならなくなるよ、と。

質問（２）・・・ポテンシャル；Ｕをｘで微分、これは、「外力」の項を示します。位置エネルギ；ｍｇｈをｈで微分したようなものですね。
後は、（１）の結果と合わせて、その外力（バネ型）による運動を、運動方程式に表しているわけです。振動方程式の形ですから、当然、「単振動」が解になってます。

補足

補足(1)・・・
〉これは、ｘ＝ａの点が極大（小）点である、ということを言っているんです。テーラー展開に１次の項が有ると、１階微分に定数が残るから、ゼロ（極値）にならなくなる

(1)テーラー展開に１次の項が有ると、１階微分に定数が残るから、ゼロ（極値）にならなくなると言っておられますが、これがよくわからないのです。
ポテンシャルエネルギーの2次の項は残っていますよね。1次の項が無視できて2次の項は残る理由をわかりやすく説明していただけないでしょうか？3次以上の項は微小料x－aの3乗以上が出てくるので無視できるというのは理解できました。