位置に依存する力

質問

自分で考えたのですが、どうしてもわからないので質問します。
問題　質量mの質点に力 F=-kx+bx^2(k,b>0)が働いている。
　　　(ⅰ)ポテンシャルU(x)を求めよ。
　　　(ⅱ)平衡点を求め,それが安定か不安定か吟味せよ。
(ⅲ)質点を安定な平衡点よりわずか離れた点a(>0)で静かに放すとき質点は周期運動をすることを示し,近似的に周期Tを求めよ。

ⅰ,ⅱは大丈夫でした。ⅲで質点の可動範囲を求めるところで私は、U(x)=U(a)を満たすxを使って可動範囲を求めたのですが、参考書の答えとは違っていて困っています。参考書の答えでは｛可動範囲は近似的にε-1<u<1 ただし、u　=　x/a　,　ε　=　(2ab/(3k))<<1}となっていました。近似的にというところがひっかかるのですが・・・　
どなたか教えてください。よろしくお願いします。

回答No.2

eatern27 · ベストアンサー

>そもそもどこからx=a(-1+ε)という形を思いついたのかが解りません。（参考書の答えがない状況で）

もしも、b＝０である(すなわち、x^2に比例する力がない)としたら、x=-aからx=aまでの範囲を単振動しますよね。だから、bx^2の力の影響が十分小さければ(aが小さいので)、ｘ≒-aの付近で折り返すはずです。そこで、
ｘ＝-a+δ
とおくわけです。δ＝aεとおけば、ｘ＝a(-1+ε)となります。

>あと、U(x)=U(a)に x=a(-1+ε)を代入するとεの三次方程式が出てきて解けませんでした。それを解いた解をaの一次の項まで取ってみたのですが、
そのやり方でも正しい結果は出ますが、方程式の段階で、最低次の項をとった方が楽ですよ。
εがaの1次である事を使って、aの最低次の項だけをとると、εの1次方程式になりますからね。(例えば、ε^2やε^3の項は高次の微小量なので無視できる)

>やはり参考書の答えとは違っていました。
やり方は間違っていないので、どういう結果になったのかが分からない以上、計算ミスとしか言いようがありません。

お礼

なるほど。確かにaの最低次項だけをとるとちゃんと出てきますね。
ここ数日もやもやしていたのがやっと晴れました。有難うございました。

回答No.1

eatern27

>U(x)=U(a)を満たすx
をx=a(-1+ε)として、εをaの1次の項まで求めれば,参考書のものになります。

お礼

お礼の覧で申し訳ないんですが、失礼します。
U(x)=U(a)に x=a(-1+ε)を代入するとεの三次方程式が出来て、それを解いた解をaの一次の項まで取ってみたのですが、やはり参考書の答えとは違っていました。

補足

御回答ありがとうございます。
馬鹿ですいません。そもそもどこからx=a(-1+ε)という形を思いついたのかが解りません。（参考書の答えがない状況で）
あと、U(x)=U(a)に x=a(-1+ε)を代入するとεの三次方程式が出てきて解けませんでした。
ご迷惑でなければ、詳しく説明してくれるとありがたいです。