【測度論】Borel集合でない可測集合は零集合

質問

Borel集合でない可測集合の存在はわかりましたが，ある本によると，そのような集合(Non-Borel measurable set)はすべて零集合（Lebesgue測度が０）だそうですが，どうすれば証明できるのでしょうか？よろしくお願い致します．

回答No.1

noname#152422 · ベストアンサー

証明できない。

補集合を考えてみて。

お礼

qyueen997さんどうもありがとうございます．
AをBorelでない可測集合とすると，Borel集合全体とL－可測集合全体がσ－algebraですからAの補集合 A^{c} もBorelでない可測集合です．測度のadditivityよりA^{c}の測度が＋∞，ですね．
出典は洲之内治男,「ルベーグ積分入門」p.152「…実際,Borel集合と測度ゼロの集合の全体が可測集合の全体になることも分かっている．」 ．．．．．です．
留学生ですので，もしかして日本語の理解が間違ったのでしょうか…

補足

qyueen997さんどうもありがとうございました．今日解析専門の教授に伺いましたが

，「Borel集合全体と零集合全体が生成するσ－代数が可測集合全体であるという

意味だ」と言われました．
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