測度について

質問

測度が零になる集合って、何を意味しますか？

空集合、一点からなる集合、他にありますか？

また、そのような集合上の関数は「可測」ではあるんですよね？

回答No.1

ojisan7 · ベストアンサー

「測度」というのはどんな「測度」ですか？「測度」にもいろいろあります。

ルベーグ測度ならば、可算無限個の点からなる集合の測度は零です。
また、極端な話、連続体の濃度を持っている集合でも、測度が零となる場合があります。そのような集合は、たとえば、カントールの三進集合が有名ですよね。

>また、そのような集合上の関数は「可測」ではあるんですよね？

ちょっと、ご質問が意味不明です。「関数が可測」というのは可測関数という意味ですか？　もしそうなら、「可測関数」の定義を復習してください。もし、ご質問が「そのような集合は可測」なのか？　という意味ならば、当然、測度が零の集合は「可測集合」です。

お礼

言葉足らずな質問に回答ありがとうございます。

因みに聞きたかったのはルベーグ測度のことでした。