ルベーグ可測集合ってなんですか？？？

質問

ルベーグ可測集合を上手く捉えられません。

頭が悪いので簡単に説明して下さい。

今の自分の解釈は、

長さや面積や体積を持つ図形はどんな集合と言えるか？↓

ルベーグという名前の人が、これら（の図形）は測ることが出来るので、

長さや面積や体積を持つ図形の集合を「ルベーグ可測集合」と名付けた。

　　　　　　　　長さ確定図形・・・・・・・・・・・・　　　１次元ルベーグ可測集合
　　　　　　　　面積確定図形・・・・・・・・・・・・　　　２次元ルベーグ可測集合
　　　　　　　　体積確定図形・・・・・・・・・・・・　　　３次元ルベーグ可測集合　　という。

私の疑問は、Ｑ１．長さや面積や体積を持つ図形以外に、ルベーグ可測集合に属するものは無いのか？？？

ということと、

Ｑ２．「全ての図形はルベーグ可測というわけではない」　　とは、どういう意味なのか？？？

ということです。測ることが出来ないくらい巨大な（宇宙サイズ？）図形に対して言ってるんですかね？？？

ちなみに、

面積（体積）がゼロの図形は、面積（体積）が０で確定しているので、面積（体積）を持つというそうです。
ってことは、面積（体積）０の図形はルベーグ可測集合に属しますよね？

面積が０の図形とは、円盤じゃなくて円周のこととか、
体積が０の図形とは、壁の無いお家（柱、骨組み）のこととか・・・ですか？？？

なんか的外れなことを言っていたらすみません・・・・

すっごく分かりやすく教えて下さい。

回答No.2

noname#138319 · ベストアンサー

次元は本質的ではないです。ちょっと誤解をうみやすい説明でしたね。
すみません。

理解のために、ユークリッド空間に限定してみましょう。例えば数直線（一次元）を全体集合とする場合で考えましょう。そして、長さの概念を考えましょう。ひとつの点（からなる集合）は、長さが０です。０、１区間[0,1]（これも集合です）の長さは１です。数直線全体の長さは無限大です。（０でも無限大でも、定まっていれば長さです）ここまではえがける図で表現できます。

それでは、区間[0,1]の中の有理数からなる集合Xの長さは？　これは図ではえがけませんが集合です。集合Xの長さを考える時に、複数の細かい区間で覆っていくことを考えます。有理数の集合は可算ですから、有理数をQ1,Q2,Q3,Q3,,,と番号をふることができます。例えば、Q1を長さ1/2の区間で囲み、Q2は長さ1/2~2で囲み、Q3は1/2~３で囲み、、、、と。この場合、覆う区間の長さの合計は、等比級数の和で１になります。次に覆う区間を短くしていきます、たとえば、Q1を長さ1/2~2の区間で覆い、Q2は長さ1/2~3で覆い、Q3は1/2~4でおおいと、、、（先ほどの等比級数であらわれた長さをひとつ、ずらしたものです）、、、この区間の長さの合計は1/2になります。このように、おおう区間をどんどん細かくしていくと、区間の長さの合計は０に収束します。この収束値０を、区間[0,1]の中の有理数からなる集合Xの長さとしましょうというのがルベーグの考え方です。（有理数からなる集合Xは可算ですから、こんなことは本当は必要ないのですが）、長さを決めるこのような方法を、数直線のいろいろな部分集合に適用して考えていきましょうというわけです。

以上の方法で集合の長さが決まり、どんな分割の方法であれ、わけられた部分の長さの合計が、その集合の長さと一致すれば、正しく長さを定めたことになりますが、それができない場合があるというのが、ルベーグ可測でない場合です。例えば、以下のリンクにあります

pauli.isc.chubu.ac.jp/~fuchino/papers/nagoya-logic-seminar-05.pdf

平面（２次元）を全体集合とし、その部分集合の面積を考える場合、長方形からなる区間でおおっていくことになります。そして、おおう区間を細かくしていって、、、おおう長方形の合計の面積の収束先を面積としましょうというわけです。

お礼

回答ありがとうございます！

＞区間[0,1]の中の有理数からなる集合Xの長さは？　これは図ではえがけませんが

　とありますが、これは図で描く方法がありますよね？
　でも、方法はあっても、実際に描くのはムチャクチャ大変だからほぼ不可能　　ということですよね・・・・？
http://hooktail.sub.jp/algebra/Greek3Probs2/

＞集合Xの長さを考える時に、複数の細かい区間で覆っていくことを考えます。
　考え方はなんとなく分かるんですが、
　覆う区間の長さはどうやって決めるんですか？

＞次に覆う区間を短くしていきます
　短くしていったら、いずれ覆えなくなる時が来ますよね？？
　覆えなくなってもお構いなしみたいな感じ？

理解出来なくてすみません＞＜
すごく気になって仕方なくて（Ｔ０Ｔ）

多分私に説明するのは大変でしょう・・・

時間を割いてしまってすみませんでした（Ｔ０Ｔ）

回答No.1

noname#138319

人間の描ける図形は、ルベーグ可測といっていいです。描けない図形は、図形といって
いいかわかりませんから、ルベーグ可測かどうかは図形の範囲ではなく、集合にたいして
考えられているといったほいうがいいと思います。

ルベーグ測度は、図形にたいしてもっている面積や体積の直観を、複雑な集合、もしくは４次元以上の空間の集合、にたいして拡張したものと考えられます。

Q1:ルベーグ可測集合は、面積や体積の直観を拡張できる集合ですから、測度（面積や体積の拡張）は定まります。無限でもかまいません。ユークリッド空間全体は無限の測度です。

Q2:ユークリッド空間のすべての部分「集合」が、ルベーグ可測というわけではないと、まず表現しなおします。Q1の答えから、ルベーグ可測ということと、面積や体積の直観を拡張できるということは同値です。ルベーグ可測でない集合とは、面積や体積の直観を拡張できない集合ということになります。ある集合に対する、ルベーグでいう面積や体積の拡張ができれば、その集合を分割した場合、分割したものの和で表現できるはずです。それができないような複雑な集合があります、ということです。

お礼

回答ありがとうございます！

丁寧に回答して下さっているのに、本当に申し訳ないですが、

よく分かりません・・・馬鹿で申し訳ないです。

４次元以上の図形は、私たちは描けません。

でも、３次元（立体）は２次元（平面）から成り立ち、
　　　　２次元（平面）は１次元（線）から成り立ち、
　　　　　１次元（線）は０次元（点）から成り立つので、

４次元は３次元から成り立つ

ｎ次元はｎ-1次元から成り立つ

この成り立つときの法則・性質のことを「ルベーグ測度」と言うんですかね？？
ウィキペディア読んでも分かりませんが、私の解釈↑なんか違う気が・・・

Ｑ１の答えは「無限にある、と考えられている」　ということですか？

また、図形ではなく集合として考えているとは、どう想像していいか分かりません。
が、とりあえず、

Ｑ２の答えは「ルベーグ測度が適用出来ない集合がある」ということです　　　　か？？？　　　それって、もはや異世界にある集合？？？？

理解したいのにチンプンカンプンで泣けてきます。

そもそも何で確率にルベーグが登場するのか分かりません。

コイン投げとかサイコロ投げとか、モンティホール問題や囚人のジレンマやくじ引きや条件付き確率とか普通に理解出来ますが、

ルベーグが登場してから？？？？？？です。