不等式の証明

質問

次の不等式を証明してください。
また、符号が成り立つのはどのようなときか。
√(a+b)^2+(c+d)^2≦√(a^2+c^2)+√(b^2+d^2)

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

高校レベルまでの数学では、ルート記号の前にマイナス符号がついていなければ正と扱って構いません。
つまり、両辺はどちらもプラスの数です。
ということは、両辺を２乗したときに成り立つかどうかを調べればよいです。

つまり、
（ａ＋ｂ）^2　＋　（ｃ＋ｄ）^2　≦　（ａ^2＋ｃ^2）　＋　２√｛（ａ^2＋ｃ^2）（ｂ^2＋ｄ^2）｝　＋　（ｂ^2＋ｄ^2）
が正しいことを示せばよいです。
左辺を展開して少し整理すると、
２ａｂ　＋　２ｃｄ　≦　２√｛（ａ^2＋ｃ^2）（ｂ^2＋ｄ^2）｝
ａｂ　＋　ｃｄ　≦　√｛（ａ^2＋ｃ^2）（ｂ^2＋ｄ^2）｝

ａｂ＋ｃｄ≧０　のときは、左辺が正なので、両辺を２乗して
（ａｂ　＋　ｃｄ）^2　≦　（ａ^2＋ｃ^2）（ｂ^2＋ｄ^2）
ａ^2ｂ^2　＋　２ａｂｃｄ　＋　ｃ^2ｄ^2　≦　ａ^2ｂ^2　＋　ａ^2ｄ^2　＋　ｃ^2ｂ^2　＋　ｃ^2ｄ^2
２ａｂｃｄ　≦　ａ^2ｄ^2　＋　ｃ^2ｂ^2
０　≦　ａ^2ｄ^2　－２ａｂｃｄ　＋　ｃ^2ｂ^2
０　≦　（ａｄ　＋　ｂｃ）^2
となり、右辺が実数の２乗なので成り立つことがわかりました。
等号が成り立つのは、ａｄ＋ｂｃ＝０　のときです。

ａｂ＋ｃｄ≦０　のときは、左辺が負なので、両辺を２乗すると、
－（ａｂ　＋　ｃｄ）^2　≦　（ａ^2＋ｃ^2）（ｂ^2＋ｄ^2）
－ａ^2ｂ^2　－　２ａｂｃｄ　－　ｃ^2ｄ^2　≦　ａ^2ｂ^2　＋　ａ^2ｄ^2　＋　ｃ^2ｂ^2　＋　ｃ^2ｄ^2
－２ａｂｃｄ　≦　２ａ^2ｂ^2　＋　ａ^2ｄ^2　＋　ｃ^2ｂ^2　＋　２ｃ^2ｄ^2
－２ａｂｃｄ　≦　２（ａｂ　＋　ｃｄ）^2　－　４ａｂｃｄ　＋　（ａｄ　－　ｂｃ）^2　＋　２ａｂｃｄ
０　≦　２（ａｂ　＋　ｃｄ）^2　＋　（ａｄ　－　ｂｃ）^2
となり、右辺が実数の２乗同士の和なので成り立つことがわかりました。
等号が成り立つのは、ａｂ＋ｃｄ＝０　かつ　ａｄ－ｂｃ＝０　のときです。

以上のことから、ａｂ＋ｃｄ　の正負にかかわらず不等式が成り立つことがわかりました。
等号が成り立つのは、
ａｂ＋ｃｄ≧０　かつ　ａｄ＋ｂｃ＝０　のとき、
または
（ａｂ＋ｃｄ≦０　かつ）ａｂ＋ｃｄ＝０　かつ　ａｄ－ｂｃ＝０　のとき
です。

計算が苦手なので、誤記がないかはチェックしてください。

お礼

ありがとうございます。

回答No.2

noname#133363

平面上の点(a, c)、(-b, -d)、(0, 0)の間に成り立つ関係として考えたらどうですか。