偏微分方程式の問題です。
・問題
u=u(t,x)
u_t=ku_｛xx｝
k＞0
(0＜x＜1,t＞0)
初期条件 u(0,x) sin(πx)+1/2sin(3πx)
境界条件 u(t,0)=u(t,1)=0
・答え
境界条件より正弦級数展開をする．
（☆）u(t,x)=Σ_{n=1}^∞b_n(t)sin(nπx)
（★）b_n(t)=2∫_0^1u(t,x)sin(nπx)dx
すると，
u_t=Σ_{n=1}^∞{db_n(t)/dt}sin(nπx)
ku_{xx}=Σ_{n=1}^∞b_n(t)d^2{sin(nπx)}/dx^2
=Σ_{n=1}^∞b_n(t)k(-nπ)^2sin(nπx)
u_t=ku_{xx}より
db_n(t)/dt=b_n(t)k(-nπ)^2=-n^2π^2kb_n(t)
∴b_n(t)=b_n(0)e^{-n^2π^2kt}
☆に代入して
（☆☆）u(t,x)=Σ_{n=1}^∞b_n(0)e^{-n^2π^2kt}sin(nπx)
∴u(0,x)=Σ_{n=1}^∞b_n(0)sin(nπx)
これと初期条件u(0,x)=sin(πx)+(1/2)sin(3πx)を係数比較して
b_1(0)=1,b_3(0)=1/2,b_n(0)=0(n≠1,3)
☆☆に代入して
∴u(t,x)=e^{-π^2kt}sin(πx)+(1/2)e^{-9π^2kt}sin(3πx)（答）
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以前、上記の問題をここで質問し、解答を頂いたのですが、この部分の途中式がどうしてもわかりません。
ku_{xx}=Σ_{n=1}^∞b_n(t)d^2{sin(nπx)}/dx^2
=Σ_{n=1}^∞b_n(t)k(-nπ)^2sin(nπx)
お手数ですが宜しくお願い致します！
