固有値問題 微分方程式

質問

固有値問題です。
(d^2/dx^2)*u(x)=λ*u(x)
境界条件
du(0)/dx-u(0)=0
du(1)/dx-u(1)=0

(d^2u(x)/dx^2)→u(x)をxで二階微分
u(x)→xを変数とする関数(固有関数)
λ→固有値

という問題をλが正の時、0の時、負の時にわけて解きたいのですが解き方がわかりません。

よろしければ教えて下さい。

回答No.1

alice_44

(d^2/dx^2) u(x) - λ u(x) = 0
線型微分方程式ですから、普通に
特性方程式 s^2 - λ = 0 を解いて、s = ±√λ から
基底解 u = e^(x√λ), u = e^(x√λ) が見つかります。
これより、一般解は u = A e^(x√λ) + B e^(-x√λ)
(A, B は定数) です。

境界条件ヘ代入して、
(du/dx)[x=0] - u(0) = 0 より、A√λ - B√λ = 0、
(du/dx)[x=1] - u(1) = 0 より、(A√λ)e^(√λ) - (B√λ)/e^(√λ) = 0。
連立一次方程式を解いて、A, B が決まります。

λの符号で場合分けする理由がよく解りませんが、
λ = -L < 0 であれば、
u = A e^(xi√L) + B e^(-xi√L)
= A {cos(x√L) + i sin(x√L)} + B {cos(x√L) - i sin(x√L)}
= C cos(x√L) + D sin(x√L)
(C, D は定数) と書くこともできるでしょう。

λ = 0 の場合は、特性根が重根になるので、
様相が異なりますね。
原式に戻って (d^2/dx^2) u(x) = 0 なので、
x で積分して、u = Ax+B (A,B は定数) です。
境界条件を満たす解は、A + (0+B) = 0, A + (A+B) = 0 で、
A = B = 0 ですね。