微分方程式

質問

2(x^2+y^2)dx=2xydyという問題があるのですが
うまく解けません。自分は両辺を移行してｄｙ/ｄｘの形にしてu=ｘｙの形を利用したのですが、答えにe^xやｌｎが出てしまい変な形になってしまいます。(∫2u/(1-u)^2=∫dxの形となり1-uをｔとおく）。答えにはｌｎやe^xはありません。やり方が間違っているのでしょうか？それとももっと簡単に解く方法があるのでしょうか？どなたか解答をお願いします。

回答No.3

debut · ベストアンサー

No2です。
答えが y=√(x^2+3x) ならば、dy/dx =(2x+3)/{2√(x^2+3x)}
これらを、2(x^2+y^2)=2xy(dy/dx)に代入すると、
左辺=2(x^2+x^2+3x)=4x^2+6x
右辺=2x√(x^2+3x)*[(2x+3)/{2√(x^2+3x)}]=x(2x+3)=2x^2+3x
となって、成り立ちませんね。（確かめてみてください）

でも、元の問題が、x^2+y^2=2xy(dy/dx) と左側の係数２がなければ
この答え（y=√(x^2+3x)）が正解になりますが・・・

お礼

ありがとうございました。答えが間違っているんですかね・・もう一度やってみます。

回答No.2

debut

dy/dx=x/y+y/x から y=ux
・・・・
とやってみたら、y^2=2x^2(lnx+C)　とlnが出ましたが・・

＞答えにはｌｎやe^xはありません。
　　どのような答えなのでしょうか？ぜひ知りたいです。

補足

すいません。初期条件を付け忘れました。ｘ＝１のときｙ＝２です。答えは確か√(x^2+3x)だったと思います。この条件でなるでしょうか？

回答No.1

mikeyan

x^2 = u
y^2 = v
とおいて、次に
w = u/v とおけば解けるようです。
（最初から w = y^2 / x^2 とおいてもよい）
やってみたら
y^2 = 2 * x^2 * ln(x)
となり、lnがでてしまいましたが。。

補足

すいません。初期条件を付け忘れました。ｘ＝１のときｙ＝２です。答えは確か√(x^2+3x)だったと思います。この条件でなるでしょうか？