ナイキストの安定判別

質問

現在、古典制御の勉強をしている学生です。

ナイキストの安定判別法を勉強して、理論を一通り理解（？）でき、演習問題も解けるようになりました。

ただ、どうしても、ナイキストの安定判別法について数式・理論は理解できても"イメージ"ができません。

「伝達関数」、「周波数応答」、「ボード線図」、「一次遅れ」、などは、数式・理論に加えて、イメージでも理解しやすく、頭にスッと入ってきました。

しかし「ナイキスト線図」だけはイメージがまったくできません。

たとえば、「閉ループ伝達関数の極がs平面の左半面に存在する場合、ベクトル軌跡が（-1,j0）点をその左側にみれば安定、右側にみれば不安定」とありますが、
何をいってるのかは理解できました。しかし、「なぜ左側に見れば安定なの？」「なぜ右側だったら不安定なの？」「左側、右側からなぜ安定性がわかるのか」がイメージできません。

ナイキスト安定判別のイメージ（概念？）について、どなたか詳しく教えていただけないでしょうか？
もしくは、わかりやすいサイトがあれば教えていただけないでしょうか？

回答No.3

matoato

開ループ伝達関数（閉ループではない）のベクトル軌跡が（-1,j0）点をその右側にみる場合、軌跡と横軸との交点を（-k,j0）点とするとk>1になります。
このとき、開ループ伝達関数は-kになります。
よって開ループ伝達関数にsinθを入力すると、その出力は-k sinθになります。
それをフィードバックすると、開ループ伝達関数への入力に-(-k sinθ)=k sinθが足されるので、(1+k)sinθが入力されることになります。
その出力は-k倍されるので、-k(1+k)sinθとなります。
それをまたフィードバックすると出力は、-k(1+k(1+k))sinθとなります。
つまり、フィードバックするたびに出力の振幅は、k, k+k*k, k+k*k+k*k*k,…となるのです。
k*k*k*…が∞にならないためには、k≦1でなければなりませんね。
ところがはじめに書いたように、（-1,j0）点をその右側にみる場合、k>1なので出力は∞（不安定）になるのです。

回答No.2

kbtkny

マイクをスピーカに向けたときにハウリングが起こる事があります。
この状況が、（-1,j）の左側にある状況です。

マイクとスピーカの間にある音やスピーカのから発せられる雑音が、
マイク→増幅→スピーカ→マイク....を繰り返した結果その系の持つ
共振しやすい周波数で発振してしまったものがハウリングです。

発振の条件は、大雑把に言えば
(1)入力した信号よりも大きな信号が帰ってくる事
(2)入力信号と反射信号の位相がそろっている事

(1)を満足させる条件は、ベクトルの絶対値が1よりも大きい事で
(2)を満足させる条件は、帰ってきた信号が(0,0)よりも（-1,j0)側
にあることとなります。よって、(1)(2)の条件を満たすのが(-1,j)
の左側となります。

また、ナイキスト線図は、ボーデ線図の位相と振幅を複素平面に表したものなので
そちらから攻めるのも手かと考えます。ゲイン余裕が(1)の条件、位相余裕が(2)の条件
にあたります。（発振しているので余裕ではなく、発振の為のゲイン条件、位相条件かな？）

参考まで

回答No.1

m0r1_2006

複素関数論の偏角の原理だから
そっちを調べてみたら．