z変換における伝達関数の安定条件について

質問

z変換に関する質問です。z変換において一応以下のことは理解しているつもりです。

a. 伝達関数のすべての極が単位円内に存在すれば安定である
b. z平面を3次元表示した場合、z軸は振幅特性 |H(w)| を表す
c. 極ではz軸方向に+∞、零点では-∞の値をとる

ただ、これらに関して以下の点がイメージできません。
(1)なぜ単位円内に極があれば安定なのか？
(2)零点が安定条件に関係のない理由（零点の伝達関数に対する影響）
(3)極、零点の位置とインパルス応答の形の関係（ex.単位円上の左側なら交互に振動する、右側なら単純に減衰するなど）

これらの事を数式ではなくイメージとしてつかみたいと思っています。
どのようにイメージしたらいいのでしょうか？
よろしくお願いいたします。
（上記に間違いがあれば訂正もお願いいたします。
推奨ホームページ、参考書もありましたらよろしくお願いいたします。）

回答No.2

ringouri

基本的な勉強の進め方はNo.1さんの回答の通りだと思います。

ご質問の項目は、まず通常のラプラス変換で理解しておかなければ、
ｚ変換での理解は覚束ないでしょう。
ｚ変換では、サンプリングしていることにより、独自の困難さが出てきます。安定性に関しても、影の不安定性や時間遅れ要素の取り扱い方など注意が必要になります。

なお、(2)の零点については、理論的には、零点と極の相殺を考えれば「安定条件に零点が関係しない」とまでは言えません。ただし現実のシステムでは、そのような不安定な伝達関数の設計はしませんから、「関係ない」といっても必ずしも間違いではありませが。

回答No.1

rabbit_cat

＞これらの事を数式ではなくイメージとしてつかみたいと思っています。
数式を理解するとイメージできるようになります。

イメージでいくなら、まずラプラス変換をしっかり理解（安定条件、解概形など）して、それから、z=e^sT と置換（このとき、s平面の虚軸がz平面の単位円に移ります）、って流れにするといいと思います。