ベクトルを使っての証明

質問

以下の問題について質問です

正６角形ABCDEFにおいて辺AB、BC、CD、DE、EF、FAの中点を
それぞれP、Q、R、S、T、U　とする。
△PRTの重心と△SQUの重心は一致することを証明せよ。

私は　△PRTと△SQUは６角形の対角線について対称だから
　　　　２つの重心は重なる。
と思ったのですが解答には重心ベクトルが等しいことを示すとあります。

ベクトルを使う必要はあるのでしょうか？
あたそれはどのように証明するのですか？

よろしくお願いします。

回答No.2

htms42 · ベストアンサー

ベクトルを使わなくてもかまいません。
でも
＞△PRTと△SQUは６角形の対角線について対称だから・・・　　２つの重心は重なる。
というのは不十分だと思います。
正６角形だから成り立つことだという押さえがあいまいになっています。
「対角線について対称だ」という時の対角線は１本では不十分なのです。
対角線ＡＤについて考えたものをＢＥに変えても考えてみるということやらないと重なるということを導くことはできません。

「正六角形の時に成り立つことを示せ」という問いに対して「正六角形だから」と答えるのは答えになっていないというのは分かりますね。

どちらかというと
対角線を使うよりはＰＳやＱＴのような二等分線を使う方が証明しやすいように思います。
どちらの三角形の重心もＰＳの上にあって、ＱＴの上にあるということが言えるからです。重心は交点の上にあります。

お礼

そうですか、わかりました。

二等分線のほうが示しやすいですね。
ありがとうございます。

ベクトルを使っても示せるように考えて見ます。

回答No.1

noname#130496

ベクトルを使う必要はないと思います。
使う必要がないことを証明するには、あなたの方針を試してみるといいのでは。
ベクトルを使った証明では、重心ベクトルの式において、三角形の頂点の位置ベクトルを、（中点であることを用いて）六角形の頂点の位置ベクトルを使って表し直すといいでしょう。

お礼

そうですか、わかりました
ありがとうございます

重心ベクトルもつかって証明してみます