メビウスの帯の面積を積分で算出できますか

質問

普通の帯の二倍になることはわかりますが、関数としてメビウスの帯を表現できないと積分はできないのかと思います。

回答No.4

ramayana · ベストアンサー

「厚みのない裏表というのは幅がない線のように数学的なものなのでしょうか。」

⇒　おっしゃる通りだと思います。メビウスの帯というと、紙テープで作ったモデルを思い浮かべてしまいますが、それだと、裏表があるような錯覚をしてしまいます。むしろ、透明のビニールテープで考えた方がいいかもしれません。

お礼

透明なビニールテープというのはなるほどと思いました。ご教示感謝いたします。

回答No.3

ramayana

あ、８の字がけですか。そうすると、直方体の両端を捩じって繋げる必要がないのですね。でも、その場合も、８の字をほぐして考えれば、ドーナッツ型と同種ですから、普通に表面積を考えることができます。

お礼

厚みのない裏表というのは幅がない線のように数学的なものなのでしょうか。ご教示ありがとうございます。

回答No.2

ramayana

ANo.1です。

プーリーのベルトと、メビウスの帯は、似ても似つかぬものです。

プーリーのベルトは、直方体を捩じって繋げたものと考えられます。このベルトは、少々角ばっていますが、ドーナッツと同種類の形であって、向き付け可能な図形です。もちろん、表面積は存在します。元の直方体の長さをL、厚さをT、奥行き（幅）をWとすれば、ベルトの表面積は、2LW+2LTであって、Tが小さいときは、2LWで近似されます（捻じれによる変形を無視する）。

プーリーのベルトとメビウスの帯の違いを実感するために、次のことを考えてみます。どこか１点に旗を立てて、円周の方向に進みます。で、１周したときにどういうことが起こるか。プーリーのベルトなら、旗は裏側にあるので、ぶつかることはありません。しかし、メビウスの帯では、旗とぶつかります。メビウスの帯では、プーリーのベルトのように裏表には分かれないのです。

補足

書き方が不完全でした。プーリーで二つの輪が反対に回るようなたすきがけあるいは八の字にかける方式のことを考えていました。

回答No.1

ramayana

長方形をねじって繋げたのがメビウスの帯だとすれば、その面積を、元の長方形の面積で充てることが考えられます。また、おっしゃるように、表裏を合わせて長方形の２倍とすることも考えられます。さらに、どこかで向きが逆転することから、面積が0と考えることもできます。

問題は、メビウスの帯が向き付け不可能であるということです。この場合は、我々が「面積」という概念に期待する性質を、整合的に満足するように面積を定義することが難しいのです。それで、普通、数学では、向き付け不可能な多様体（図形、空間）の面積や体積は、定義されていなかったと思います。

若干難しい言葉でいうと、面積というのは、何らかの微分形式の積分で表現できるのですが、向き付け不可能な多様体では、そのような微分形式を定義できないのです。

お礼

実際的にはプーリーのベルトのようなものには面積があるように思いますが、数学的には必ずしも面積が定義ができないというように考えてよいのでしょうか。ご教示ありがとうございました。