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メビウスの帯の裏表について

2007/10/21 05:35

メビウスの帯には裏表がないと言いますが、紙で作った、実際のメビウス帯を手にとった場合ごく限られた部分を見るかぎり紙の表でない方は裏と言えると思います。これは数学的には誤りなのでしょうか。数学的にはメビウスの帯には厚さがないのでしょうか。

noname#194289

数学・算数
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kabaokaba
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2007/10/21 13:08 回答No.5

厚さについては・・・あなたは数学の文脈で「点」に大きさ，直線に「太さ」を認識してるのか？という点につきます．裏表については，「裏表とは何か？」という点と大域的な性質と局所的な性質をごっちゃまぜにしてるという初歩的なところに付きます．まず，例．トーラス．これには「穴が一個」開いてますが，「ごく限られた部分を見るかぎり」穴は「あいてません」．だから，「トーラスに穴が開いている」というのは誤りである，といってるのと同じです．「裏表がある」，どうも一般書とかでは正確には「向き付け可能である」ということをいってるらしいですが，これは多様体の大域的な性質です．そして，多様体はその定義から「局所的にはR^nと同じ」なのですから局所的にみれば，「普通の空間」になります．全体を見ないといけないものを，局所的に見てなおかつ，局所的には「普通に見える」ので全体も「普通」と考えるのが誤りです．

質問者

お礼 2007/10/21 17:59

御教示ありがとうございました。昔工場のベルトで車を反対に廻す掛け方に感心したことがあります。

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ringouri
ベストアンサー率37% (76/201)

2007/10/21 13:51 回答No.6

No.5さんが適確な回答をされていますので、蛇足的なコメントになりますが.... 「ごく限られた部分を見るかぎり紙の表でない方は裏と言えると思」っている質問者さんの視点は、3次元的な視野であり、2次元の数学的な視点とは異なります。数学的な概念（この場合であれば、面という2次元の対象）を物理的なモデルである「実際のメビウス帯」を人間の眼から見た3次元の対象としてとらえる考え方が混乱のもとなのです。これを難しく言えば、局所的解析と大局的解析の違いを理解するということです。 No.5さんが指摘しておられる、「トーラス（ドーナツ）には穴があいているのか？、いないのか？」という問題？をよく考えてみてください。よく通俗書に載っている「メビウスの帯」や「クラインの壷」は数学的な対象を物理的なイメージにしている点で分かりやすくはありますが、対象を必ずしも正確に表現したものではない、という点も忘れてはならないことでしょう。（特に「クラインの壷」は高次元対象の3次元投影なので、余計に誤解しやすいです。）

質問者

お礼 2007/10/21 18:01

改めて勉強させていただきます。御教示ありがとうございました。

Meowth
ベストアンサー率35% (130/362)

2007/10/21 11:28 回答No.4

紙の継ぎ目をみれば同じ面で　物理的手ざわりが変わる＝表面と裏面が接続されているとことがあります。（当然）数学的には表同士（境界を越えても表）物理的には表と裏が入れ替わるので違いがでるわけで、ようするに表面　裏面の定義がちがうので数学的には誤りです

質問者

お礼 2007/10/21 17:55

なるほどと思いました。どうもありがとうございました・

banakona
ベストアンサー率45% (222/489)

2007/10/21 08:18 回答No.3

互いに関係の薄いご質問が２つ入っているような気がします。まずその１＞数学的にはメビウスの帯には厚さがないのでしょうか。これは＃１さんが答えているので省略します。そこで次のご質問だけに答えます。その２＞ごく限られた部分を見るかぎり紙の表でない方は裏と言えると思います。これは数学的には誤りなのでしょうか。メビウスの帯は、一回ひねって繋いだ全体をメビウスの帯と呼ぶので、「ごく限られた部分を見る」のは誤りだと思います。例えば、肝心の「ひねった部分」を無視したり、逆に「ひねった部分だけ」を見るのは意味のないことでしょう。（「ひねった部分とはどこか？」というツッコミもありそうですが・・・）念のために確認すると、「メビウスの帯には裏表がない」とは、次のような意味でしょう。　通常の、ひねりのないベルト状の輪の一方の面に「表」と書き、その反対の面に「ウラ」と書いた場合に、「表」と書いた面に触れてぐるっと一周すると「表」と書いた箇所に戻ります。何周しても「ウラ」と書いた箇所に到達することはありません。　これに対し、メビウスの帯で同じことをすると、ぐるっと一周すると「ウラ」と書いた箇所に到達します。もう一周すると「表」と書いた箇所に戻ります。

質問者