メビウスの帯を数学で扱うと厚みがなくなるのですか？

質問

紙で作ったメビウスの帯は、グラフ用紙の上に描かれたグラフの線が幅をもっているのと同じように，厚みを持っています。しかし数学で考えるメビウスの帯は線が幅をもたないのと同じように厚みがないものとして考えないといけないのでしょうか。

回答No.4

grothendieck · ベストアンサー

3次元空間の中で中心線の半径がRのメビウスの帯の座標は
　((R+rcosθ)cosφ, (R+rcosθ)sinφ, r sinθ)　(r≦0)
かつ、θとφは
　φ=2t, θ=t 　(0≦t<2π)
でパラメータ化されます。φが0から2πまで一周する間にθは0からπまで変化するので裏返るのです。パラメータがrとtの二つしかないので2次元の空間であり、厚みは考えません。この問題ではありませんが、メビウスの帯上で局所的な情報しか分からない人がメビウスの帯の表裏が区別できると考えるのは誤りだと思います。古代ギリシアのエラストテネスは地球が丸いと考えたばかりか地球の大きさを正しく計算しました。かれは2点間の距離と南中高度の差から曲率半径を求め、地球を一周したわけでもないのに地球の大きさを計算することができました。上のメビウスの帯の場合も曲率と捩率から一周するにはどれだけ進む必要があり、その時にどれだけの捩れがあるかは計算できます。すると一周したら裏返ってしまうということは分かるはずです。ちなみにクラインのつぼは下の正方形で矢印を重ね合わすように貼り合わせたものです。
　┌─→─┐
　│　　　│
　↓　　　↑
　│　　　│
　└─→─┘

2次元の面からできるので、これも厚みを持ちません。

お礼

メビウスの帯自身空間なのですか。この空間独自の関数もあるのでしょうか。

回答No.3

yumisamisiidesu

メビウスの帯は、(向き付け不可能な)曲面として定義されています
曲面として扱う以上厚みは考えません
それに比べて、メビウスの帯を1次元上げたような図形に
クラインの壺がありますが
あれは、三次元的な図形なので(ですが三次元中では存在しえませんが四次元の中で存在が有り得ます)
厚みのようなものを考えることでできると思います

すいません、この辺の文や詳しくないので、鵜呑みしないで下さい

お礼

自分なりに勉強させてください。ご教示有難うございます。

回答No.2

he-goshite-

そのとおりです。
　紙で作った（メビウスの）面は数学でいう面の模型でしかありません。線に太さがないのと同じように，面にも厚みはありません。

追伸
「数学で扱うと厚みがなくなる」訳ではありません。厚みのある紙で厚みのない面の模型を作っただけです。

お礼

ご教示有難うございます。メビウスの帯という名前が元凶（？）なのでしょうか。厚みがなくなると、帯そのものが溶けてなくなってしまうような不安感があります・・・

回答No.1

marth

グラフの線は、人が見るときに幅が０では見えないうえに描けないので太さがあるのであって、鉛筆で書いたために±0.1の幅があったら、実際の値にも±0.1の幅があるわけではないですよね。

数学は概念を扱う（こともある）ので、物体として実現し得なくても問題はないのです。

逆に、もし厚みを考えなければならないとしたら、x-y平面は立体になってしまいます。でも、普通、そうは考えないのと同じことです。

なお、厚みを考えてはいけないわけではありません。
何を対象にするかによって、考えるかどうかを自分で判断するのです。
（例えば、帯の内部に着目する必要がある場合は、当然考えることになるでしょう。）

お礼

早速どうもありがとうございました。メビウスの帯を表現する数式で考えなければいけないのでしょうか。