積分の計算

質問

公務員試験の対策をしています。

添付の計算について、なぜ下線のような計算が導けられるのか教えてください。

回答No.3

nantokasensi

他の方の補足に解答してしまいますが、お礼は不要です。

＞ただ、∫６ｄｘ＝６ｘがちょっと理解できないのですが、
＞整数にはただ「x」をつければいいのでしょうか？

そうです。
もう少し詳しく言うと、＃２さんの最初の積分の公式を見てください。
「６」などのただの数字は、実は、「６x^0」となっていて、ｘのゼロ乗は「1」ですね？
＃２さんの最初の積分の公式を見てください。
n=0の場合で、係数が６になっていると思えば、公式どおりなんです。
逆に、6xを微分すれば、６ですね？
まぁ、ただｘをつけると覚えてもいいと思います。

＞また、インテグラル記号の上下に書かれている数字

積分には、インテグラルに数字のついている「定積分」とついていない「不定積分」があります。
＃２さんが示しているのが、不定積分の公式です。
この場合は、公式にもあるように積分定数「C」が必要です。
なぜなら、
x+5、x^2+7、x^3+10・・・など、いろんな関数がありますが、微分すると、
1、2x、3x^2・・・というようになり、定数の5や7や10が消えてしまいます。
今度は、これらを積分して、元の関数を求めようとすると、消えた定数が、なんだったのかが分かりません。
例えば、
2xを積分すると、x^2なのか、x^2+1なのか、x^2+100なのか分かりません。
なので、代表して積分定数「C」をつけるのです。

ところが、定積分の場合は、後で説明しますが、計算は不定積分と同じように計算を進めていきますが、このとき、一方には「+C」がつき、もう一方には「-C」となるので、結局ゼロになってしまいます。
＃２さんが、「＋Cは定積分の時には不要」と言っているのはこのためです。

さて、長くなりましたが、定積分の計算は、

∫(-2x^2-x+6)dx　・・・注）∫の上下の数字はかけないので省略しています。
=[(-2/3)x^3-(1/2)x^2+6x+C]　

普通に積分したのと同じ。本当は、「+C」は書かないのですが、あえて書きました。意味が分かりましたら、これからは、書かなくていいです。
で、大[]でくくりましたが、右側の]の上下に積分範囲の数字（今回の問題では、2/3と-2）をここに書きます。
そして、上の数字2/3をxに代入した式から、下の数字-2をxに代入した式を引きます。
したがって、

[(-2/3)x^3-(1/2)x^2+6x](2/3と-2)
=[{(-2/3)(2/3)^3-(1/2)(2/3)^2+6(2/3)+C}-{(-2/3)(-2)^3-(1/2)(-2)^2+6(-2)+C}]

ここから先は、省略しますが、答えは、数字になります。（2/3と-2の範囲で、積分する前の元の関数のグラフの面積を表していますので。）
そして、「C」に注目すると、左はそのまま「+C」、右は、+Cに見えますが引いているので「-C」ですね？
どんな計算でも必ずこうなるので、定積分の「C」は、これからは、書かなくていいです。
（不定積分は、書き忘れませんように。）

回答No.2

puusannya

積分の公式です。
∫(x＾ｎ)ｄｘ＝１/(ｎ＋１)・ｘ＾(ｎ＋１)＋C　（Cは積分定数）・・・＋Cは定積分の時には不要

以下＋Cは省略します。

∫数ｄｘ＝数ｘ　　　　　　　　　　∫６ｄｘ＝６ｘ
∫ｘｄｘ＝１／２・ｘ＾２　　　　　∫ーｘｄｘ＝－１／２・ｘ＾２
∫ｘ＾２ｄｘ＝１／３・ｘ＾３　　　∫ー２ｘ＾２ｄｘ＝ー２／３・ｘ＾３

補足

回答ありがとうございます。
なにぶん積分の公式をすっかり忘れていたので助かりました。

ただ、∫６ｄｘ＝６ｘがちょっと理解できないのですが、
整数にはただ「x」をつければいいのでしょうか？

また、インテグラル記号の上下に書かれている数字（今回の問題の場合、2/3と-2）は、積分の計算には直接登場しないものなのでしょうか？；；

回答No.1

exymezxy09

-2x^2-x+6を普通に積分しているだけです。
x^2は1/3・x^3になります。xは1/2ｘ^2になり、6の積分は6xとなります。

補足

ご回答ありがとうございます。

テキストに書かれた解答をみると、インテグラル記号の上下にある数字（3/2と-2）は登場してませんが、∫の上下にある数字には特に触れず計算するのでしたっけ？？；