定積分の計算をしていただきたいです

質問

添付した図の式を自分で計算した結果、

K^2・b^2/2π(cos(ωb)/ωb)^2

となりました。

何度か確認したのですが、間違いを発見できませんでした。

簡単な問題かも知れませんが、計算過程を含め教えていただけないでしょうか？

回答No.1

noname#232123 · ベストアンサー

I=(K^2/pi)*∫[0 to b](b-τ)*cos(ωτ)dτ

∫[0 to b](b-τ)*cos(ωτ)dτ
=[{(b-τ)/ω}*sin(ωτ)]+(1/ω)*∫[0 to b]sin(ωt)dτ
=(1/ω^2)*{1-cos(ωb)}
=(1/ω^2)*2*sin^2(ωb/2).

よって、
I=(K^2/pi)*2*sin^2(ωb/2)/ω^2
=(K^2/pi)*2*{sin^2(ωb/2)/(ωb/2)^2}*(4/b^2)
={K^2b^2/2pi}*{sin^2(ωb/2)/(ωb/2)^2}.
-------------------
※半角(倍角の公式)により、結果を変形しているだけです。

お礼

早速の解答ありがとうございます。
大変参考になりました。

回答No.2

yyssaa

＞S(ω)=1/(2π)∫[-b→b]K^2(b-|τ|)cosωτdτ
=K^2b/(2π)∫[-b→b]cosωτdτ-K^2/(2π)∫[-b→b]|τ|cosωτdτ
ここで
S1(ω)=K^2b/(2π)∫[-b→b]cosωτdτ
S2(ω)=K^2/(2π)∫[-b→b]|τ|cosωτdτとおくと、
S1(ω)の∫[-b→b]cosωτdτはωτ=tで置換して
dτ=dt/ω、τ=-bでt=-ωb、τ=bでt=ωbだから
∫[-b→b]cosωτdτ=∫[-ωb→ωb]costdt/ω
=(1/ω)(sint)[-ωb,ωb]=(1/ω){sinωb-sin(-ωb)}=(2/ω)sinωb
よってS1(ω)={K^2b/(πω)}sinωb
S2(ω)の∫[-b→b]|τ|cosωτdτは図からb＞0であり、τcosωτは
奇関数だから
∫[-b→b]|τ|cosωτdτ=∫[-b→0](-τ)cosωτdτ+∫[0→b]τcosωτdτ
=∫[0→-b]τcosωτdτ+∫[0→b]τcosωτdτ=2∫[0→b]τcosωτdτ
ここで∫τcosωτdτは部分積分により
∫τcosωτdτ=(1/ω)τsinωτ-(1/ω)∫sinωτdτ
=(1/ω)τsinωτ+(1/ω)^2cosωτ+C(定数)だから
∫[-b→b]|τ|cosωτdτ=2{(1/ω)τsinωτ+(1/ω)^2cosωτ}[0,b]
=2(1/ω)bsinωb+2(1/ω)^2cosωb-2(1/ω)^2
よってS2(ω)=K^2/(2π){2(1/ω)bsinωb+2(1/ω)^2cosωb-2(1/ω)^2}
={K^2b/(πω)}sinωb+{K^2/(πω^2)}cosωb-K^2/(πω^2)
以上から
S(ω)=S1(ω)-S2(ω)
={K^2b/(πω)}sinωb-{K^2b/(πω)}sinωb-{K^2/(πω^2)}cosωb+K^2/(πω^2)
={K^2/(πω^2)}(1-cosωb)={K^2/(πω^2)}[1-{cos^2(ωb/2)-sin^2(ωb/2)}]
={K^2/(πω^2)}[1-{1-sin^2(ωb/2)-sin^2(ωb/2)}]
={K^2/(πω^2)}{2sin^2(ωb/2)}={K^2b^2/(πω^2b^2)}{2sin^2(ωb/2)}
=[K^2b^2/{π(ωb)^2}]{2sin^2(ωb/2)}=(K^2b^2/π){2sin^2(ωb/2)}/(ωb)^2
=K^2b^2/(2π){4sin^2(ωb/2)}/(ωb)^2=K^2b^2/(2π){sin^2(ωb/2)}/{(bω)^2/4}
=K^2b^2/(2π){sin(ωb/2)/(bω/2)}^2

お礼

回答ありがとうございます。