積分の計算

質問

sin^6(x/2)の積分の計算について教えてください。参考書等を見てもやり方が書いてありません。計算過程も教えていただけると助かります。

回答No.3

info22_

sin^6(x/2)=(sin^2(x/2))^3=((1/2)2sin^2(x/2))^3
=(1/2)^3*(1-cos(x))^3
=(1/8)(1-3cos(x)+3cos^2(x)-cos^3(x))
=(1/8)-(3/8)cos(x)+(3/16)(1+cos(2x))-(1/8)((3/4)cos(x)+(1/4)cos(3x))
=(5/16)-(15/32)cos(x)+(3/16)cos(2x)-(1/32)cos(3x)
より

∫sin^6(x/2)dx=(5/16)x-(15/32)sin(x)+(3/32)sin(2x)-(1/96)sin(3x) +C

回答No.2

yyssaa

＞半角の公式を２回使います。
sin^2(x/2)=1-cos^2(x/2)=1-{cos(x)+1}/2
={1-cos(x)}/2だから
sin^6(x/2)=(1/8){1-cos(x)}^3
=(1/8){1-cos^3(x)+3cos^2(x)-3cos(x)}
このうちcos^2(x)は、もう一度半角の公式で
cos^2(x)={cos(2x)+1}/2として積分し、
cos^3(x)はsin(x)=t、cos(x)dx=dtとおいて
置換積分します。
なお、cos^3(x)は
cos^3(x)=cos(x)cos^2(x)=cos(x){cos(2x)+1}/2
=(1/2)cos(x)cos(2x)+(1/2)cos(x)
=(1/2){cos(3x)+sin(x)sin(2x)}+(1/2)cos(x)
=(1/2){cos(3x)+2sin^2(x)cos(x)}+(1/2)cos(x)
=(1/2)[cos(3x)+2{1-cos^2(x)}cos(x)]+(1/2)cos(x)
=(1/2)[cos(3x)+2cos(x)-2cos^3(x)}+(1/2)cos(x)
から
cos^3(x)=(1/4)cos(3x)+(3/4)cos(x)(３倍角の公式)
としても積分できます。

回答No.1

Tacosan

和積とか積和って知ってますか?