高２数学の問題

質問

１の３乗根のうち、虚数であるものの１つをωで表すとき、次のことを示せ。

(１)１の３乗根は、１,ω,ω２乗の３つである。

(２)ω２乗＋ω＋１＝０　

解き方と答え教えて下さい(*^_^*)

よろしくお願いします!

回答No.1

info22_

(1)
1の3乗根は方程式
x^3-1=0
の解なので代入してこの方程式を満たす異なる解であることを示せばよい。
x=1を代入すると
1^3-1=0
で満たしているから解の１つ。

x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0
なので、1つの虚数解x=ωを代入すると
ω^3-1=(ω-1)(ω^2+ω+1)=0
ω^3=1…(A)
ω≠1なので　ω^2+ω+1=0…(B)

x=ω^2を代入すると
(ω^2)^3-1=ω^6-1=(ω^3)^2-1=1^2-1=0 (∵(A))
なのでx=ω^2も虚数の3乗根。
ω^2≠ωであることは以下のように示せる。
(B)でω＝ωとすると
2ω+1＝0
となってω=-1/2と虚数解であることに反する。
したがってω^2≠ω

なお、虚数の3乗根はω、ω^2は（B)の2つの解「(-1±i√3)/2」です。

(2)　既に（B)式として導出済み。