数学の問題です。初歩的なことがわかりません。

質問

「3乗根の√2.73×4.34を常用対数表を使って求める問題」の解説なのですが、なぜ3乗根の√2.73×4.34にlog10をくっつけて計算してよいのですか？なにもないところからlog10をくっつけても値は分からないのでしょうか？（赤で囲った部分です。）
なるべく丁寧な説明していただければ嬉しいです。宜しくお願い致します。

回答No.1

gamma1854 · ベストアンサー

正数A、Bに対し、A*B を計算するとき、そのまま手計算をするのが面倒なことがあります。このようなとき、
log(A*B) = log(A) + log(B)
により、「積」が「和」になることを利用して計算します。(かつてはこのようなことがよくありました。このとき、「常用対数表」を「使います。今では「電卓」が簡単に手に入り、このような対数計算は利用されませんが)
--------------
x = (2.73*4.34)^(1/3)
の計算は簡単ではありません。そこで、両辺の対数(常用)をとり、
log(x) = (1/3)*{log(2.73) + log(4.34)} = 0.35788・・(表より)
ここで「表」を”逆利用”し、対数値が0.35788になる真数ｘを求めます。

回答No.4

staratras

正攻法で2.73×4.34=11.8482　の立方根を筆算で求めると下の画像のようになりました。2.279までで打ち切っても結構面倒で（消しゴムで訂正したあとが汚くなり失礼しました）計算間違いの可能性が生じます。対数表や近似計算法の有り難さがわかりますね。

回答No.3

staratras

なお蛇足ですが、約2.28を近似値として求めるだけなら、対数表を使わず、また開立計算を行わなくても可能です。

2.73×4.34=11.8482　であり、2^3=8<11.8482<3^3=27 だから
（11.8482)^(1/3)=2+x　とおける(0<x<1)

両辺を3乗して整理すると　x^3+6x^2+12x-3.8482=0
ここで　x^3の項は小さいので無視して近似すると
6x^2+12x-3.8482=0 ∴x^2+2x-0.64137=0
これを解いて0<x<1の解は　x≒0.28
したがって（2.73×4.34)^(1/3)≒2+0.28＝2.28

回答No.2

staratras

今から50年以上昔、パソコンや電卓が普及する以前には対数表が数値計算に使われました。回答者が所属していた高校の地学部の部室には「丸善七桁対数表」という本が備えられていました。彗星の位置推算をしたりするのに使われたのです。

原理は簡単で、対数計算では進数の掛け算が対数の足し算に、真数の割り算が対数の引き算に、真数のべき乗計算がlogの前に出せることを使うだけです。

ご質問の計算を正直にやろうとすれば、まず2.73×4.34=11.8482　を求めて
次にこの11.8482の3乗根（立方根）を求める開立計算をする必要があります。
筆算で開立計算を行うこともできますが、平方根を求める計算と比べるとかなり面倒です。

そこでlog(2.73×4.34)^(1/3)=1/3((log(2.73)+log(4.34))であることを使って対数計算を行います。回答者が現在所有している「常用対数表」ではlog(2.73)＝0.43616　log(4.34)＝0.63749　でしたのでこれを代入すると

1/3((log(2.73)+log(4.34))＝(0.43616+0.63749)/3≒0.35788　です。
ここでこの対数表で対数が0.35788となる真数を探すと
log(2.279)=0.35774 log(2.280)=0.35793 なので比例配分して
log(2.2797)くらいだろうと計算できます。

関数電卓で計算すると(2.73×4.34)^(1/3)=2.279733733　となりました。