高次方程式の問題 解説お願い致します！

質問

１の３乗根の１つである｛-１+（√３）ｉ｝/２をωとする。
次の式の値を求めて下さい。

１）ω＾２
２）ω＾３
３）ω＾４
４）ω＾５+ω＾６+ω＾７

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

ω^3=1

より

(ω-1)(ω^2+ω+1)=0

>１の３乗根の１つである｛-１+（√３）ｉ｝/２をω

ωはω^2+ω+1＝0をみたす。

1）ω^2=-ω-1=-｛-１+（√３）ｉ｝/２-1=｛-１-（√３）ｉ｝/２

2)ω＾３=1

3)ω＾４=ω＾3*ω=ω

4)ω＾５+ω＾６+ω＾７=ω＾５(1+ω+ω＾2)=0

回答No.3

yyssaa

＞順番に複素数で計算するならω=(1/2)*(-1+i√3)と書いて
1)ω^2={(1/2)^2}*{(-1+i√3)^2}=(1/4)*{(-1)^2-2i√3+3i^2}
=(1/4)*(1-2i√3-3)=-2*(1/4)*(1+i√3)=-(1/2)*(1+i√3)
2)ω^3=ω*ω^2=(1/2)*(-1+i√3)*{-(1/2)*(1+i√3)}
=-(1/2)*(1/2)*(-1+i√3)*(1+i√3)=-(1/4)*{-1+(i√3)^2}
=-(1/4)*(-1+3i^2)=-(1/4)*(-1-3)=-(1/4)*(-4)=1
3)ω^4=ω*ω^3=(1/2)*(-1+i√3)*1=(1/2)*(-1+i√3)
4)ω^5+ω^6+ω^7=(ω^3)*(ω^2+ω^3+ω^4)
=1*(ω^2+1+ω^4)=ω^2+ω^4+1=-(1/2)*(1+i√3)+(1/2)*(-1+i√3)+1
=(1/2)*(-1-i√3-1+i√3)+1=(1/2)*(-2)+1=-1+1=0

回答No.2

f272

ω^3=1なのだからω^-1=(ω-1)(ω^2+ω+1)=0となってω^2+ω+1=0であることに注意する。

(1)
ω^2=-ω-1

(2)
ω^3は定義どおり。

(3)
ω^4=ω

(4)
ω^5+ω^6+ω^7=ω^2+1+ω